Dejo el parcial que me tomaron ayer;
Ejercicio 1.
(i) Sea \(K\) un cuerpo y sea \(A \in{K^{4\times{4}}}\) de rango 2. Probar que existe \(B \in{K^{4\times{4}}}\) de rango 2 tal que \(A.B = B.A = 0\)
(ii) Sea
Hallar \(B \in{K^{4\times{4}}}\) de rango 2 tal que \(A.B = B.A = 0\)
Ejercicio 2. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
(i) Sean \(v_1, v_2, v_3, v_4\) y \(w\) tales que det\((v_1|v_2|v_3|v_4) \neq 0\), det\((v_1|v_2|v_4|w) \neq 0\), det\((v_1|v_3|v_4|w) \neq 0\) y det\((v_2|v_3|v_4|w) \neq 0\). Entonces \(\{v_1, v_2, v_3, v_4\}\) es linealmente independiente.
(ii) Sea \(A \in{K^{(n+1)\times{n}}}\) y \(b \in{K^{(n+1)\times{1}}}\) tales que el sistema \(Ax^t = b\) tiene solución en \(K^n\). Entonces det\((A|b) = 0\)
Ejercicio 3. Sea \(p: (\mathbb{R}^4)^* \longrightarrow{(\mathbb{R}^4)^*}\) un proyector tal que Ker \((p) =\) \(\langle(1, -1, 2, 1), (0, 1, -2, -1)\rangle ^\circ{}\) e Im\((p) = \langle(\varphi_1, \varphi_2)\rangle\), donde \(\varphi_1(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 + x_2\) y \(\varphi_2(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_2\). Hallar \(|p|_{E^*}\).
Ejercicio 4. Sea \(f : \mathbb{R}^{2\times{2}\)\(\longrightarrow{\mathbb{R}^{2\times{2}}\) dada por