Ejercicio sobre polinomios(mate2)

T es la t.l. definida por:

1)Calcular nucleo e imagen de T. 2)Hallar la matriz \(T_{BB}\) donde \(B=\{1-x, 1+x, 1-x^2\}\)

Quizás ayude que se puede pensar a \(\mathbb{R}_k[X]\) como \(\mathbb{R}^{k+1}\).
También se puede recordar que \(f_{B, B'}\) es la matriz de la transformación lineal que "lee" en base \(B\), aplica \(f\), y "escribe" en base \(B'\). "Leer" y "escribir" es para decir que "usa las coordenadas en tal base".

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Me tiene confundido lo q hace esa transformacion lineal.
Ni siquiera se como aplicarle a la canonica y el jueves rindo!

gracias igual por la data!!!

Bueno, voy a usar eso de que \(\mathbb{R}_k[X]\) es isomorfo a \(\mathbb{R}^{k+1}\), por el simple hecho de que las cuentas van a ser mas familiares. Se puede hacer sin esto, pero me siento más cómodo poniéndolo en un plano clásico de vectores.
La manera de llevar algo de \(\mathbb{R}_k[X]\) a \(\mathbb{R}^{k+1}\) es tomar coordenadas. Es decir, que si me dan una cosa de la forma \(\sum_{i=0}^k \alpha_i x^i\) con \(\alpha_i \in \mathbb{R}\), que vive en \(\mathbb{R}_k[X]\), yo lo considero el vector \((\alpha_0, \alpha_1, \cdots, \alpha_k)\), que vive en \(\mathbb{R}^{k+1}\).

Entonces, si lo que me dicen es que esta transformación lineal manda \(a + bx + cx^2\) a \(c + ax + ax^2\), lo puedo pensar como que me dicen que manda \((a, b, c)\) a \((c, a, a)\), \(\forall\ a, b, c \in \mathbb{R}\). Entonces, podés ver qué hace esto en la base canónica de \(\mathbb{R}^3\):

Entonces, podés pensar que esta transformación es

Calcularle el núcleo a esto es relativamente fácil. Si \(v = (v_1, v_2, v_3)\):

Entonces, ahí encontramos el núcleo. Pero ojo, esto es porque lo "transformamos" a \(\mathbb{R}^3\). El ejercicio habla de un endomorfismo de \(\mathbb{R}_2[X]\), entonces tenemos que pasar esto a \(\mathbb{R}_2[X]\). Esto es simplemente el reverso de lo que habíamos hecho antes, entonces pasamos coordenadas, y nos queda que el núcleo pedido es \(\langle x \rangle\). La imágen va a ser lo demás, pués podés aplicarle \(f\) a una base de \(\mathbb{R}^3\) (por ejemplo la canónica) y ver que es generada por los otros 2 vectores, \((1, 0, 0)\) y \((0, 0, 1)\) (o, más precisamente, \(1\) y \(x^2\)). Es fácil verificar que estos dos vectores resultantes serán L.I. Entonces son base, y la imagen tiene base \(\{1, x^2\}\) (o, volviendo a nuestra analogía con \(\mathbb{R}^3\), \(\{(1, 0, 0), (0, 0, 1)\}\)).

Bueno, esos son el núcleo y la imagen. Ahora te piden calcular \(f_{B, B}\), con \(B=\{1-x, 1+x, 1-x^2\}\).
Si recordamos, \(f_{B, B}\) va a ser la transformación lineal que lee en base \(B\), aplica \(f\), y escribe en base \(B\). Estas son tres "acciones" distintas, o por lo menos se pueden pensar así. "Leer" en una base, es decir que es una función que pasa de coordenadas en base \(B\), a la base canónica. Escribir es análogo: una función que recibe coordenadas en la base canónica, y te devuelve las coordenadas en la base \(B\). Lo bueno, es que estas matrices son la inversa la una de la otra (lo podés pensar como que dado que "pasar coordenadas" es un isomorfismo, tiene inverso, y es claro que pasar de una base a la canónica, y de vuelva a la misma base, es la función identidad, entonces deben ser inversas). Y encima, la "matriz que lee en la base \(B\) y te devuelve coordenadas en la base canónica", no es otra cosa que los vectores de la base, puestos como columnas.

Bueno. Entonces, tenemos 3 acciones: Pasar de \(B\) a \(E\), pasar de \(E\) a \(B\), y aplicar \(f\) en la base canónica.
Estas acciones son realizadas por las matrices \(C_{B, E}\), \(C_{E, B} = \left(C_{B, E}\right)^{-1}\), y \(f_{E, E}\).
Entonces, "porque hablan el mismo idioma" (podés ir considerando que pasa cuando evaluás, de izquierda a derecha, el resultado de lo siguiente), es cierto que

Entonces, es solo cuestión de encontrar estas 3 matrices, y multiplicarlas. La del medio ya la sabés, la calculamos en el ejercicio anterior. Veamos cuales son las otras dos.

Volviendo a nuestro isomorfismo entre \(\mathbb{R}^{k+1}\) y \(\mathbb{R}_k[X]\), veamos qué es esta base \(B\) que nos dan, sabiendo que la base canónica de \(R_2[X]\) es \(\{1, x, x^2\}\):
\(\{1-x, 1+x, 1-x^2\} \sim \{(1, -1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, -1)\}\), en nuestro isomorfismo imaginario. Esto es simplemente de ver qué cosas aparecen de \(\{1, x, x^2\}\) en cada vector de \(B\). Entonces, como sabemos,

Y podemos calcular la última matriz, dado que:

Entonces, ya tenemos una forma para \(f_{E, E}\), que es multiplicar esas 3 matrices en ese orden. Esas 3 matrices multiplicadas te van a dar un elemento de \(\mathbb{R}^{3\times 3}\), que no es exactamente lo que pide el ejercicio, pués nosotros nos valimos de un isomorfismo.
<fruta>
Entonces, cuando tenés esa matriz de 3 filas y 3 columnas, pasá cada columna a lo que sería en su forma polinomial canónica: la columna \((a, b, c)\) se transforma en \(a + bx + cx^2\) en la matriz pedida.
</fruta>
Bueno, espero no haberme mandado macanas (aunque sé que la probabilidad de eso es infinitesimal). Cualquier cosa preguntá, y éxitos mañana 🙂

EDIT: Creo que estoy mintiendo al final con lo de la matriz, ahí te confirmo / lo corrijo xD

Editado 1 vez.

Gracias maestro, me salvaste!
Me tenia un poco confundido el tema de polinomios hasta, pero con esto aclaraste todo! (Ya habia estado leyendo un poco [Sin resolver] Practica 1 Ejercicio 14) vii) (2009) )

Se me hace mas facil trabajar en forma vectorial (nose si me exprese bien), mas que la forma de poner polinomios en las coordenadas. Por ejemplo:

Esta bien esto que acabo de decir?

¿Tengo que decir que tomo las coordenadas como dijiste vos arriba? (Esto es mas para justificar los pasos que voy haciendo en el parcial)

Muchas gracias igual, ahora esta todo mucho mas claro!

Podés argumentar lo mismo del isomorfismo. O sea, no está bien la igualdad porque unas cosas son elementos de \(\mathbb{R}_2[X]\) y otras de \(\mathbb{R}^3\). Pero podés decir que está el isomorfismo, entonces lo podés aplicar antes y después de tu función (antes el que va de polinomios a vectores, y después su inversa) y todo sigue valiendo. Yo la verdad terminaría dejando \(f_{B, B}\) como la encontramos ahí y aclararía lo del isomorfismo al inicio del ejercicio.
No sabría decirte como pasar esto a "matriz de polinomios" o lo que sea, en serio me llevo mal con los polinomios como espacio vectorial xD Por eso creo que es fruta lo que escribí de transformar cada columna a polinomio. Preguntalo, y si encontrás la respuesta, posteala (o algún miembro del foro que sepa se cope y postée 🙂)

Saludos y éxitos!

Claro, a mi me pasa lo mismo, me llevo mal con los polinomios.
Tenes razon, la igualdad que puse arriba es fruta. En cuanto a la justificacion voy a hacer lo que dijiste, aclare que voy a trabajar en coordenadas, y luego la solucion la pondre en \(\mathbb{R}_{2}[X]\).

Gracias capo.