Tema
Sean \(( V, \langle , \rangle) \mathbb_{R}\)-espacio vectorial con producto interno y {v1, v2, v3} una base ortonormal de V. Definir, si es posible, \(f: V\rightarrow V\) una transformacion lineal tal que:
a) ||f(v)|| = ||V|| para todo v en V
b) f(v1+2v3)= v2-2v3
c) v1 - v2 sea autovector de f
"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".
Bueno...
de c tengo que \(f(v_1-v_2)=a(v_1-v_2)\) donde a es el autovalor de \(v_1-v_2\) Pero por a) tenemos que \(\vert\vert a(v_1-v_2)\vert\vert=\vert\vert v_1-v_2)\vert\vert\Rightarrow \vert a\vert=1\)
Usando b) y prop de la t.l.:
Además, \(<v_1-v_2>\) es f-inv luego tambièn lo es su complemento ortogonal, que tiene dim 2. Busquemos entonces dos vectores ortogonales a \(v_1-v_2\) l.i. para formar una base: Uno de ellos es \(v_3\) Pues: \(<v_1-v_2,v_3>=<v_1,v_3>-<v_2,v_3>=0+0=0\) ya que la base dada era ortonormal. El otro puede ser \(v_1+v_2\) y se puede ver igual que es ortogonal con \(v_1-v_2\) . Luego \(S^{\perp}=<v_3,V_1+v_2>\) que también es f-inv
Ahora Consideraré la base \(B=\{v_1-v_2,v_3,v_1+v_2\}\) y escribo \(v_1+2v_3\) en tèrminos de B:
\(v_1+2v_3=0,5(v_1-v_2)+2v_3+0,5(v_1+v_2)\) Por lo tanto:
Ahora, como a=1 o a=-1, elijamos a=-1 y entoncs resulta que \(f(v_1-v_2)=-v_1+v_2\) usando esto en la cuenta anterior, y poniendo que \(f(v_1+2v_3)=f(v_1)+2f(v_3)=v_2-2v_3\) me queda:
Impongo la condiciòn f(v_3)=-v_3 (ahí ya tengo dos imàgenes de la base, me faltarìa una) y me queda:
Podés comprobar que tal f cumpe con todas las hipòtesis pedidas, lo de B y C es obvio poruqe asì la armamos, lo que no es tan claro es A, pero lo que podès hacer para ver que f conserva normas es ver que transforma una base ortonormal en otra ortonormal. Entoces te tomàs la base original de \(\{v_1,v_2,v_3\}\) y resulta que sus imàgenes son \(v_2,v_1,-v_3\) y coimprobàs facilmente que esto ùltimo es una base ortonormal. FIN