$$$\noindent Ejercicio 3. Sea $A \in \mathbb{R}^{ 2 \times 2}$ la matriz $\begin{pmatrix}a+1 & -1 \\ 1 & a-1\end{pmatrix}$ Probar que $A$ es semejante a $A^{200}$ si y s\'olo si $a=1$.$$
Sabemos que estas matrices van a ser semejantes si y sólo si sus formas de Jordan coinciden. Entonces, veamos cuales son estas formas de Jordan.
$$\chi_A = \begin{vmatrix}\lambda-(a+1) & 1 \\ -1 & \lambda-(a-1)\end{vmatrix} = (\lambda - a)^2$$
.
$$(A - aI) = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$
.
$$\\Nu(A - aI): \\x_1=x_2$$
\(\Rightarrow \langle(1, 1)\rangle\) es autovector.
Vemos que \((A -aI)^2 = 0\), entonces su núcleo es todo \(\mathbb{R}^2\). Entonces para completar una base de núcleos sucesivos podemos usar, por ejemplo, \((1, 0)\). Nos queda que \(B=\{(1, 0), (1, 1)\}\) es base de Jordan de A (es fácil ver que \((A-aI).\binom{1}{0} = (1, 1)\)).
Entonces, si
$$C = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}$$
,
$$C^{-1} \cdot A \cdot C = J_A = \begin{pmatrix}a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow A = C \cdot J_A \cdot C^{-1} = C \cdot \begin{pmatrix}a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix} \cdot C^{-1}$$
$$\Rightarrow A^{200} = C \cdot \begin{pmatrix}a^{200} & 0 \\ \binom{200}{1}a^{199} & a^{200} \end{pmatrix} \cdot C^{-1}$$
.
Intentemos buscar la forma de Jordan de esta matriz.
Sea
$$B = A^{200} - a^{200}I = \begin{pmatrix}0 & 0\200a^{199} & 0\end{pmatrix}$$
Veamos que pasa si \(a \ne 0\):
$$Nu(B) = \langle(0, 1)\rangle$$
$$B^2 = 0 \Rightarrow Nu(B^2) = \mathbb{R}^2$$
Entonces \(B_J = \{(1, 0), (0, 200a^{199})\}\) es base de Jordan de \(A^{200}\).
Entonces, llamando $$Q = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 200a^{199}\end{pmatrix}$$
, $$Q^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{200a^{199}}\end{pmatrix}$$
.
$$A^{200} = C \cdot Q \cdot \begin{pmatrix}a^{200} & 0 \\ 1 & a^{200}\end{pmatrix} \cdot Q^{-1} \cdot C^{-1}$$
, y esa es la forma de Jordan de \(A^{200}\).
Entonces \(A\) y \(A^{200}\) son semejantes si y sólo si
$$J_{A^{200}} = \begin{pmatrix}a^{200} & 0 \ 1 & a^{200}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 \ 1 & a\end{pmatrix} = J_A$$
.Como \(a \ne 0 \land a^{200} = a\), \(a\) tiene que ser 1.
Que pasa si, por otra parte, \(a=0\). \(A^{200} = 0\), por nilpotente (sería un bloque de \(2 \times 2\) de Jordan nilpotente).
Pero
$$J_A = \begin{pmatrix}a & 0\1 &a\end{pmatrix}$$
. Si \(J_A = J_{A^{200}}\), entonces existiría una matriz \(K \in GL(2, \mathbb{R})\) tal que $$K^{-1} \cdot \begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix} \cdot K = J_A = \begin{pmatrix}a & 0 \ 1 & a\end{pmatrix}$$
.Pero
$$K^{-1} \cdot \begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix} \cdot K = 0$$
, entonces $$\begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 \ 1 & a\end{pmatrix}$$
, absurdo.\(\Rightarrow a \ne 0\).
Entonces \(a\) tiene que ser 1.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.