[no resuelto] ej.4 recu2do parcial 21/7/00

Decidir si existe A\(\in {\mathbb_{R}}^{10x10}\)tal que:
a) 3y 5 son sus unicos autovalores
b) rg(A-3I)=7, \({rg(A-3I)}^{3}=5, {rg(A-3I)}^{5}=3, rg(A-5I)=5 y {rg (A-5)}^{4}=3\)
En caso de existir, dar todas las posibles formas de Jordab con su correspondiente polinomio caracteristico y minimal

A ver...

Si \(rg(A-3I)=7\) entonces hay tres bloques de jordan de autovalor 3.
Si \(rg(A-5I)=5\) entonces hay cinco bloques de jordan de autovalor 5.

Hasta acá las opciones serían:

1. \(dim(S_5)=7\) bloques para 5: 3+1+1+1+1, bloques para 3: 1+1+1
2. \(dim(S_5)=7\) bloques para 5: 2+2+1+1+1, bloques para 3: 1+1+1
3. \(dim(S_5)=6\) bloques para 5: 2+1+1+1+1, bloques para 3: 2+1+1
4. \(dim(S_5)=5\) bloques para 5: 1+1+1+1+1, bloques para 3: 2+2+1 o 3+1+1
   donde puse en cada opción el tamaño de los bloques de los autovalores correspondientes, según la dimensiñon del subespacio invariante de cada uno.

Pero como \(rg(A-3I)^3=5\) entoncs la dimensión del nucleo aumenta en 2, lo que descarta las opciones SIN bloques de 3x3, pues los bloques de 2x2 o de 1x1 se hacen 0 al elevar al cubo. con lo cual la ùnica opciòn posible es que los bloques de autovalor 3 tengan tamaño 3, 1 y 1.
Esto implica que existan 5 bloques de autovalor 5 de tamaño 1x1, esto contradice que \(rg(A-5I)^4=3\) . Luego esa matriz no existe.

Bueno ahí una idea... tengo una duda igual en esta resoluciòn pues querrìa revisar la contradicciòn con màs detalle. Además no usè que \(rg(A-3I)^5=3\)