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Sean \(\mathbb{V}\) un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial de dimensión \(n\), \(\mathbb{S} \subseteq \mathbb{V}\) un subespacio y \(f : \mathbb{V} \to \mathbb{V}\) un proyector tal que \(Im(f) \subseteq \mathbb{S}\). Probar que \(Im(f) = \mathbb{S} \iff Nu(f) \cap \mathbb{S} = \{0\}\).
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Sea \(\mathbb{S} = \{x \in \mathbb{R}^4 : x_1 + x_3 = x_1 - x_4 = 0\}\). Hallar un proyector \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) tal que \(Im(f) \subseteq \mathbb{S}\) y \(Nu(f) \cap \mathbb{S} \neq \{0\}\).
\(\Rightarrow\)) Si \(f\) es proyector, \(\mathbb{V} = Im(f) \oplus Nu(f)\).
Entonces \(\mathbb{V} = \mathbb{S} \oplus Nu(f)\). Pero entonces, \(\mathbb{S} \cap Nu(f) = \{0\}\), que es lo que queríamos demostrar.
\(\Leftarrow\)) Si f es proyector, entonces \(\mathbb{V} = Im(f) \oplus Nu(f)\).
Sabemos que \(Im(f) \subseteq \mathbb{S}\). Entonces \(\mathbb{V} = S + Nu(f)\). Pero \(\mathbb{S} \cap Nu(f) = \{0\}\).
Entonces \(\mathbb{V} = \mathbb{S} \oplus Nu(f)\).
Llamemos \(dim(Nu(f)) = p\). Entonces \(n = dim(\mathbb{S}) + p\), o lo que es lo mismo, \(dim(\mathbb{S}) = n - p\).
Pero \(\mathbb{V} = Nu(f) \oplus Im(f)\). Entonces \(n = p + dim(Im(f))\).
Entonces, \(dim(Im(f)) = dim(\mathbb{S})\), y \(Im(f) \subseteq \mathbb{S}\).
Entonces \(Im(f) = \mathbb{S}\), que es lo que queríamos demostrar.
De las ecuaciones podemos sacar que
Extendemos estos vectores a una base de \(\mathbb{R}^4\).
Para definir una transformación lineal, basta definirla en una base. También sabemos que para que sea proyector, debe ser el caso que f, restringida a su imagen, es la identidad. También sabemos que su imagen debe ser un subespacio del \(\langle(1, 0, -1, 1), (0, 1, 0, 0)\rangle[\), y que su nucleo debe intersecar a \(\mathbb{S}\).
Consideremos la transformación lineal \(f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) definida como
Es fácil ver que
- \(Nu(f) \cap \mathbb{S} = \langle(0, 1, 0, 0)\rangle \neq \{0\}\)[/*:m]
- \(Im(f) = \langle(1, 0, -1, 1)\rangle \subseteq \mathbb{S}\).[/*:m]
- \(f \circ f = f\)[/*:m]
Entonces \(f\) cumple con lo pedido.
Relativamente sencillo.
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
