[Resuelto] 1 er P, 2do Rec, 1er cuatrimestre 2007, ej 5

Problema 5: Sea \(A \in K^{n \times n}\). Probar que A es un proyector si y solo si \(2A - I\) es idempotente (es decir, es inversa de si misma).

\(\Rightarrow\))
A es un proyector. Entonces \(A^2 = A\). Quiero ver que \(2A-I\) es su propia inversa. Osea, que \((2A-I)(2A-I) = I\).
\((2A-I)(2A-I) = 4A^2-4A+I^2 = 4A-4A+I = I\), que es lo que queríamos demostrar.
\(\Leftarrow\))
\((2A-I)\) es su propia inversa. Quiero ver que \(A\) es un projector, osea que \(A^2=A\).
Entonces \((2A-I)(2A-I) = I\). Entonces \(4A^2-4A+I=I \iff 4(A^2-A)=0 \iff A^2 = A\), que es lo que queríamos demostrar.

Relativamente fácil...aunque, wtf, eso no es un elemento idempotente :/ B idempotente sería que \(B^2=B\), no \(B^2=I\). Pero bueno, lo aclararon.