Problema 1: Sea \(A \in K^{n\times n}\) una matriz y sea \(B \in K^{n\times n}\) la matriz que se obtiene rotando 90 grados (en sentido horario) a la matriz A. Calcular el \(\det(B)\) en función del \(\det(A)\).
Este es cortito.
La clave está en darse cuenta qué está pasando cuando rotamos 90º una matriz. Si lo hacemos con una de 3x3:
Se puede ver que B se obtiene de hacer \(A^t\), y revirtiendo las columnas (el 99% del ejercicio está acá). Se puede pensar como que la columna \(i\)-ésima se convierte en la columna \((-i) \pmod{n}\)-ésima.
Ahora, ya sabemos que \(\det(A) = \det(A^t)\), y sabemos que cambiar una columna de lugar (o fila) multiplica al determinante por -1. Entonces, para una matriz de 3x3 cambiamos 2 columnas de lugar (la 3 y la 1, la 2 queda igual). Para una de \(n\) columnas, cambiamos \(n-1\) columnas. Cada vez, multiplicando por -1 al determinante.
Entonces la función queda
\(\det(B) = (-1)^{n-1} \cdot \det(A)\)
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
justamente para n=3 no vale tu formula pues el det B=-Det A y de acuerdo a tu fórmula estas diciendo que det B=det A.
PD: jajaj los dos posteamos lo mismo
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"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".
como dije en el post que escribi el signo del determinante cambia cada dos. es decir para n=2 y n=3 det B=-det A. para n=4 y n=5 det B=det A, y asi siguiendo.
luego para \(n\equiv 2(4) y n\equiv 3(4)\)el detB=- det A ylas otras dos clases de equivalencia vale la igualdad
ahora como probar que esto vale para todo n
(tengo problemas para formalizar 😕 )
Soy un bobo, para cambiar 2 columnas (poner una en el lugar de la otra) calculé que hay que hacer 2 cambios, cuando hay que hacer 1 solo xD
Si tengo n columnas, pueden pasar 2 cosas: Si n es par, entonces tengo que cambiar n/2 columnas. Si n es impar, voy a tener una central que no va a cambiar, entonces voy a cambiar (n-1)/2 columnas.
Esto es lo que estabas diciendo, no (porque de acá sale lo de mod 4)?
EDIT: Creo que el problema viene de que no hay una noción muy matemática, aparte de la que encontramos, de qué es "rotar 90 grados". Podés decir que la fila i-ésima pasa a ser la columna ((-i) mod n), pero no mucho mas que eso. De ahí sale que es la traspuesta, con las columnas cambiadas de i a -i (mod n).
si vos decis que si es par hay n/2 permutaciones y si es impar hay (n+1)/2 permutaciones luego estarias pensando en modulo dos lo cual no es cierto. si te fijas vale para n=2,n=6 , etc es decir para 2modulo4 tenes que detB=-det A. sin embargo,por ejemplo, para n=4 detB=detA y eso es porque tenes dos pares de columnas para permutar.
FJL escribió:
Podés decir que la fila i-ésima pasa a ser la columna ((-i) mod n), pero no mucho mas que eso. De ahí sale que es la traspuesta, con las columnas cambiadas de i a -i (mod n).
Para lo primero:
No no, concuerdo con lo que decís: Hay 4 casos. Separo en si n es par o no par. Ahí voy a hacer n/2 o (n-1)/2 permutaciones. Pero fijate que esto es lo mismo que decís - hacer un número par de permutaciones indica que o n/2 es par (osea, es 0 modulo 4) o (n-1)/2 es par (osea, n es 1 mod 4). Entonces, si n es 0 o 1 mod 4, hago un número par de permutaciones. Si es 2 o 3 mod 4, hago lo otro (osea, un número impar de permutaciones, osea me queda negativo).
Para lo segundo:
Imaginate una matriz de \(n \times n\) (jaja, fácil decirlo), un poco traslúcida. Coloreá la fila i-ésima (ponele i = n/4, osea cerca del techo). Ahora rotá toda la matriz 90º hacia la derecha.
La fila ahora es una columna, pero está pegada a la pared derecha. Cuan pegada? Bueno, está a 3/4 del camino en la matriz, osea a 3n/4, porque era de \(n \times n\) la matriz.
Ahora imaginate la misma matriz, traslúcida. Poné un i cerca del piso ahora, digamos i = 3n/4. Girá la matriz 90º para la derecha. Ahora esa fila es una columna, pero está pegada a la izquierda. Cuan pegada? Está a n/4 de la pared izquierda, o a 3n/4 de la derecha.
Mientras más chiquito el i que elegiste antes (pero siempre antes de n/2), mas pegada a la pared derecha va a terminar. Y mientras mas grande elegiste el i (pero siempre mas grande que n/2), más pegada a la pared de la izquierda va a terminar.
Ponele que es de grado impar, entonces hay una columna central. Rotada 90º, simplemente se convierte en la fila central de esta nueva matriz.
Esto se vé mejor si empezás a contar las filas y columnas a partir del 0, no del 1. Tenés la columna 0-ésima. En que fila se va a convertir? -0 mod 15 = 0, osea en la primer fila. Tenés la fila 4. En que columna se va a convertir? (-4) mod 15 = 11.
Porai confundí muchísimo xD Conviene que haga un grafico, no?