a) para cada a perteneciente a\(\mathbb{R}\) se define \({\psi}_{a} \in (\mathbb{R}_{3}[x])^*\) definida por \({\psi}_{a}(P)=P''(a)\). Hallar todos los valores de a para los cuales \({\psi}_{a} \in \langle {\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3} \rangle\)
\(Como quiero que [tex]\psi_a \in \langle \phi_1 , \phi_2 , \phi_3 \rangle\)entonces quiero que se pueda escribir como una combinación lineal de elementos del subespacio.
b) sea \({\phi}_{0} \in (\mathbb{R}^{3}[x])^*\) tal que \(B=\lbrace{\phi}_{0},{\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3}\rbrace\) es una base de \((\mathbb{R}^{3})^*\) y sea \(\lbrace{P}_{0},{P}_{1},{P}_{2},{P}_{3}\rbrace\) la base de \(\mathbb{R}_{3}[x]\) cuya base dual es \(B\). Probar que \(\langle {P}_{0},{P}_{1} \rangle=\langle {(x-1)}^{2}, {(x-1)}^{2}x \rangle\)
problema:
Tanto \(\phi_1 (P_0)\) como\(\phi_1 (P_1)\) son distintas a cero... Se supone que deberían dar una distinta a cero y una igual o yo me estoy equivocando feíto..
Es claro que ambos conjuntos tienen la misma dimensión, puesto que uno tiene dos polinomios de grados distintos y el otro es un pedazo de una base, entonces para ver la igualdad te basta ver una inclusión. No se si se puede hacer directamente, yo lo que hice fue ver una contención de anuladores, si mal no recuerdo esta: \(\langle {P}_{0},{P}_{1} \rangle\subset\langle\{(x-1)}^{2}, {(x-1)}^{2}x \rangle\) (no se como poner el cerito de anulador arriba en tex) (nota que tanto "Phi" sub-2 como "Phi" sub-3 se anulan en \({(x-1)}^{2}\) y en \({(x-1)}^{2}x\) y que \(B=\lbrace{\phi}_{0},{\phi}_{1},{\phi}_{2},{\phi}_{3}\rbrace\) es base del dual).
Fijate que \((x-1)^2\) lo podes escribir como una combinacion lineal de los \(P_{i}\) pues son una base, luego evaluas esta C.L. en cada funcion del dual y vas a sacar que ciertos escalares son cero, y vas a poder escribirlo como C.L de\(P_{o}\)y \(P_{1}\)y lo mismo con \(x(x-1)^2\). Tienen la misma dimension, y los 2 se pueden escribir como una C.L de los 2 primeros, entonces generan el mismo espacio
