Sean V y W dos espacios vectoriales tales que dim(V) = dim(W) <\(\infty\) y sea f: V\(\rightarrow\)W una transformacion lineal. Sean S y T dos subespacios de V tales que \(V=S\oplus T\)
Probar que es un isomorfismo si y solo si\(W= f(S)\oplus f(T)\)
Lo que se me ocurrio es algo muy charlado, poco formal, y con algunos pasos medios oscuros
aqui va:
\(\rightarrow )\) si f es isomorfismo, luego es monomorfismo, es decir f(x)=0 sii x=0. entonces f(S)interseccion f(T)={0} pues si fuera distinro de cero entonces existiria x\(\in S\) e \(y \in T\) (distintos de cero, donde x es distinto de y pues pertenecen a conjuntos que estan en suma directa)tal que f(x)=f(y) pues pertenecen a la interseccion. Luego f(x-y)=(por ser tl) f(x)+ (-1)f(y)=0 luego no seria mono.
por lo tanto \(f(S)\oplus f(T)\)
Como dim (V)=dim (W) y f es mono, luego f es epi por lo tanto f es iso.
\(\leftarrow )\) si \(W=f(S)\oplus f(T)\)luego es base de W,analogamente\(V=S\oplus T\) base de V. luego F "manda base de V a base de W" luego f es iso
Firma
"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".