a) Sea \(A\in \mathsf{C^{n\times n}}\) nilpotente. Probar que \(tr(A^{i})=0 \forall i , 1\leqslant i \leqslant n\)
b) Sea \(A\in \mathsf{C^{n\times n}}\) tal que \(tr(A^{i})=0 \forall i , 1\leqslant i \leqslant n\) Probar que si \(\lambda_{1},...,\lambda_{k}\) son los autovalores no nulos de A y todos distintos, y \(m_{1},m_{2},...m_{r}\) sus multiplicidades. Probar que \(m_{1}=m_{2}=...=m_{r}=0\)
a) Puesto que A es nimpotente, existe p natural tal que A a la p es 0. Pero además, A tiene una forma de jordan con 0 en la diagonal, digamos \({J}_{A}\)
Entonces existe una matriz C inversible tal que \(A=CJ_{A}C^{-1}\)
Usando que tr(AB)=tr(BA) y agrupando conveinentemente:
b) Yo digo que esto es equivalente a probar que si A admite algun autovalor, este debe ser 0. Pues procediendo por el absurdo, pido que para algún índice k \(m_{k}\) sea distinto de cero. Luego \(\lambda_{k}\) es un autovalor no nulo de A de orden \(m_{k}\geqslant 1\) De allí la contradicció se sigue de inmediato.
Entonces... sea \(\lambda \in \mathbb{C}\) tal que existe un \(v \in \mathbb{C}^{n \times n}\) no nulo tal que \(Av=\lambda v\)
Tenemos entonces que : \(tr(A)=\sum_{i=1} ^{n}a_{ii}=0 \Longrightarrow tr(A^{2})=\sum_{i=1} ^{n} \sum_{j=1} ^{n} a_{ij}=0\) por hipótesis.
Además, A es semejante a una matriz de Jordan, digamos \({J}_{A}\) Con lo cual hay una matriz C inversible tal que
Lo que quiero decir(y creo que realmente no valía escribir la matriz...) es que una matriz \(J\) nilpotente que viene dada en su forma de Jordan sabés que tiene traza nula, vale decir \(tr(J)\eq=0\) y que sus potencias sucesivas \({J}^{i}\) verifican también \(tr({J}^{i})\eq=0\)(notá que usé \(J\) como letra y no \(A\)). Bueno, sabiendo este caso, el caso general cae de la misma forma. Dada una matriz \(A\) nilpotente, sabemos que es semejante a una matriz(la forma de de Jordan) de la forma de \(J\)(que la llamaremos \(J\) también). En definitiva, \(A\eq=CJ{C}^{-1}\), con \(C\in GL(n\mathbb{C} )\). Luego, como la traza es un invariante, vale decir si doms matrice son semejantes tienen la misma traza, y dado que:
tenés que \(tr({A}^{i})\eq=tr({J}^{i})\eq=0\)
b)
De vuelta, todo se reduce al caso de una matriz en su forma de Jordan(no sabemos si nilpotente, es lo que tratamos de ver). Sea \(J\) en su forma de Jordan que verifique \(tr({J}^{i})\eq=0,\forall 1\leq i\leq n\). Como \(J\) es triangular inferior y en la diagonal tiene sus autovalores, cuando elevamos a una potencia determinada, en la diagonal nos quedan las potencias de los autovalores, conservándose la multiplicidad. De esta forma, nos van quedando sucesivamente(\(tr({J}^{i})\) es la suma de los autovalores en cada caso, contados con multiplicidad, y los que figuran abajo son los autovalores no nulos):
Ahora, fijate que la primera matriz es escondida una Vandermonde. El determinante es no nulo(tenés que sacar un factor común de cada columna, y te queda el determinante de la matríz por la Vandermonde adecuada). C0m0 todos l0s autovalores son distintos, esa matriz es inversible, teniendo que la solución del sistema homogéneo es solo la trivial , siguiendo que el vector
lo que pasa si y sólo si \({m}_{1}\eq=\cdots \eq={m}_{r}\eq=0\) lo que querías probar.
Después, por la semejanza de matrices el caso general sigue de esto
No se si está claro, pero cualquier cosa avisá. Saludos.
PD: no vi que que habías escrito más. Perdón ALE.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities