El ejercicio dice:
\(a) sea A\in Gl(n,\mathbf{C}) tal que A^{2}.\) es diagonalizable. Probar que A es diagonalizable.
b) Mostrar una A no inversible y no diagonalizable tal que \(A^{2}\) sí es diagonalizable
Ayuda para esto...
Tema
[no resuelto] 2º parcial 1r cuatri 2003
Primero hago la parte b), y luego la a):
b)
Fijate que la matriz
$$A\eq=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$
no es diagonalizable(fijate que tiene un bloque nilpotente, está en la forma de Jordan), pero cuando hacés $${A}^{2}\eq=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\0 & 0 & 0\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
, que es diagonal, luego diagonalizable.a)
La idea es descartar que pase lo de b). Como \({A}^{2}\) es diagonalizable, existe \(C\in GL(n,\mathbb{C})\) y \(D\) diagonal tal que \({A}^{2}\eq=CD{C}^{-1}\). Por otro lado, consideremos \(J\) la forma de Jordan de A. Luego existe \(B\in GL(n\mathbb{C})\) tal que \(BJ{B}^{-1}\eq=A\). Elevando al cuadrado e igualando:
$$B{J}^{2}{B}^{-1}\eq={A}^{2}\eq=CD{C}^{-1}$$
Despejando las matrices inversibles, queda:
$${J}^{2}\eq={B}^{-1}CD{C}^{-1}B\eq=B{C}^{-1}D{(B{C}^{-1})}^{-1}$$
Luego, \({J}^{2}\sim D\). O sea, \({J}^{2}\) es diagonalizable. Ahora, \(J\) es la forma de Jordan de \(A\), y viene de a bloques según el autovalor(todo esto vale alegremente, y se puede hablar de forma de Jordan porque estamos en \(\mathbb{C}\), vale decir, no nos preocupa la posibilidad de polinomios sin raíces). Ahora es el momento de usar la hipótesis de que \(A\) es inversible. Si existiera un subbloque \({J}_{\lambda}\) de autovalor \(\lambda\) de tamaño \(m\times m\), con \(1<m\leq n\), al hacer \({J}^{2}\)(dado que está separado en bloques se eleva cada bloque al cuadrado, vale decir, en subespacios invariantes) hacés también \({J}_{\lambda}^{2}\) y sabés que un subbloque nilpotente al elevarlo al cuadrado te deja un \(0\) en la diagonal. El resumen es que en la diagonal \(D\) tendrías un \(0\) y como \({A}^{2}\sim D\), resultaría \({A}^{2}\) no inversible, absurdo pues \(A\) era inversible y su cuadrado siempre lo es. Luego todos los bloques son de tamaño 1(\(m\eq=1\)), vale decir, \(J\) era diagonal, y como \(J\sim A\), tenemos que \(A\) es diagonal.
La última parte está algo charlada. Fijate que escribirlo bien no es muy difícil. Puse primero el b) para mostrar por qué era necesaria la hipótesis de inversible en a) y cómo usarla. Si no queda claro, avisá.
Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
sublime!!!
sigo posteando...
Una dudilla...
no entendí por qué el subbloque elegido tiene que ser nilpotente. ¿No podría ser, por ejemplo, de esta manera:
$$\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 \ a &\lambda_{1}\end{pmatrix}$$
?En tal caso no sería nilpotente el bloque y no tiene por qué dejar un cero en la diagonal cualdo lo elevás al cuadrado.
Bueno si me aclaran esto joya!
Feliz dia