Hallar una rotación en \({\mathbb{R}}^{3}\) tal que
$$F(<(2,1,2)>)=<(3,3,0)>$$
...
.edit: Maca....(te lo pase a tex asi podes ver el codigo q necesitabas para hacerlo )
Tema
[No Resuelto] PArcial 5/12/00
Tarde pero seguro [tratá de escribir en LaTeX de ahora en más. Sí, ya sé que no sabés, pero tratá!]
Pensemos un poco geométricamente. Si es una rotación en \(\mathbb R^3\), entonces tiene un eje y un plano que rota. Ese plano que rota está formado por los vectores que mueve la transformación: el eje queda fijo, y es ortogonal al plano de rotación. Lo más fácil es tomar el plano generado por nuestros dos vectores, \((2,1,2)\) y \((3,3,0)\) como el plano de rotación, y el ortogonal a este plano como eje de giro. El ortogonal a este plano es \((2,1,2) \times (3,3,0) = (-6,6,3)\). Entonces para empezar, podemos proponer que \(F(-6,6,3) = (-6,6,3)\) [una rotación tiene que preservar la norma de los vectores]. O mejor todavía, como \((-6,6,3) = 3 (-2,2,1)\), tomemos \(F(-2,2,1) = (-2,2,1)\), que es lo mismo, pero con números más pequeños
Queremos una rotación tal que \(F(<2,1,2>) = <(3,3,0)>\). Fijate que acá hay varios datos. Primero, como es una rotación, no tiene que cambiar la norma de los vectores. Entonces, \(F(2,1,2) = \lambda (3,3,0)\), por el otro dato, pero además tiene que conservar la norma. Como \(||(2,1,2)|| = 3\), y \(||\lambda (3,3,0)|| = |\lambda| \sqrt{2} 3\), podemos tomar \(\lambda = \pm \sqrt 2\), digamos que tomamos la positiva. Fijate que ahí ya tenemos la imagen de dos vectores de una base, así que nos falta uno más.
¿Cómo hacerlo? Una rotación además de preservar un eje de rotación y las normas de los vectores, preserva ángulos. Es decir, uno podría completar \(\{(2,1,2), (-2,2,1)\}\) a una base ortogonal (por ejemplo, con el vector \((-3, -6, 6)\)), y después decir "esto manda bases ortonormales en bases ortnormales", y entonces \(F((2,1,2) \times (-2,2,1)) = F(2,1,2) \times F(-2,2,1) = \sqrt 2 (3,3,0) \times (-2,2,1) = \sqrt 2 (3, -3, 12)\)
Presto.
ok gracias...
Con una compañera pensamos otra cosa. Me dicen si està bien?
Lo que decimos es que, puesto que el eje (que es un subespacio de dim 1) se transforma en sí mismo, es claro que (2,1,2) no es el eje. Como es una rotación vemos qué ángulo determinan (2,1,2) y algún vector de la imagen, por ejemplo (3,3,0):
$$\alpha=arccos\dfrac{\langle(2,1,2);(3,3,0)\rangle}{\Vert(2,1,2)\Vert\Vert(3,3,0)\Vert}\Rightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{4}$$
Entonces Tomo la base ortonormal, que la consigo a partir del (2,1,2) y de un vector normal a èl como (1,0,-1) , el tercer vector, usando Gram Schdmit es (1,-4,1) luego divido cada uno por su norma euclídea y listo:
$$B=\{\dfrac{(2,1,2}{3};\dfrac{(1,-4,1)}{\sqrt{18}};\dfrac{(1,0,-1)}{\sqrt{2}}\}$$
Cambié el orden de los últimos dos vectores. Ahora digo que la matriz asociada a esta base debe ser la siguiente:
$$\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Y bueno, ahi queda definida la transf lineal que se pide ¿Esta bien?
Hice lo mejorq ue pude con el latex y aún asi no pude armar la matriz linda 🙁 help!!
Ahora si!
Nopo, pero ahí...
Fijate que tu rotación no cumple con la condición \(F(\left\langle (2,1,2) \right\rangle) = \left\langle (3,3,0) \right\rangle\). Esto es porque hay MUCHOS vectores que forman un ángulo de \(\pi/4\) con el \((2,1,2)\) en tres dimensiones. Fijate que el eje no solo es perpendicular a \((2,1,2)\), sino también necesariamente a \((3,3,0)\).
Yossarian escribió:
Lo más fácil es tomar el plano generado por nuestros dos vectores, \((2,1,2)\) y \((3,3,0)\) como el plano de rotación, y el ortogonal a este plano como eje de giro.
Es decir, uno podría completar \(\{(2,1,2), (-2,2,1)\}\) a una base ortogonal (por ejemplo, con el vector \((-3, -6, 6)\)), y después decir "esto manda bases ortonormales en bases ortnormales", y entonces \(F((2,1,2) \times (-2,2,1)) = F(2,1,2) \times F(-2,2,1) = \sqrt 2 (3,3,0) \times (-2,2,1) = \sqrt 2 (3, -3, 12)\)
Presto.
No entiendo algo. Primero decis q vas a tomar como plano q rota el \((212)\) y \((330)\) y dsps elegis otro ortogonal. En el fondo me parece q lo q no me quedo claro es cual es la base q usaste y como te aseguraste q tuviese determinante 1
Eligió otro vector que no es el (3,3,0) (en este caso el (-3,-6,6)) para que le quede una base ortonormal.Yo lo volví a hacer, para que te des una idea la cosa es:
Considerar el plano que rota como el generado por (3,3,0) y (2,1,2) tomemos \(H=\{(1,1,0) y (2,1,2)\}\) para simplificar la cosa. Entonces despuès dice que el eje es normal a estos dos asi que saca el producto vectorial y entonces \(H^{\perp}=\langle(-2,2,1)\rangle\)
Entonces, para que sea una rotación tiene que mandar bases ortogonales en bases rotogonales. Entonces, en lugar de considerar la base \(\{(1,1,0)(2,1,2)(-2,2,1)\}\) Cambia uno de los vectores del plano de rotación por otro, en ese mism plano, pero que sea ortogonal con los otros dos , por ejemplo el que resulta del producto vectorial entre (2,1,2) y (-2,2,1) Yo tomè (1,2,-2) (que es el eqivalente al (-3,-6,6) de Yossarian) Y es facil ver que
(1,2,-2)=3(1,1,0)-1(2,1,2) o sea que està en el plano de rotación.
Luego manda el (-2,2,1) en si mismo porque es del eje, y los otros dos los tiene que mandar al plano, conservando las normas.
Ya había sacado que (2,1,2) lo manda a \(\frac{\sqrt2}{2}(3,3,0)\) por lo que pide la consigna. Entonces tenemos que mandar (1,2,-2) a otro vector tal que sea ortogonal con las imàgenes de los dos anteriores. Asi que f(1,2,-2) sale del producto vectorial entre (1,1,0) y (-2,2,1). Despuès hacès que conserve la norma multiplicando por algùn escalar y fin
La base que tomàs entonces Serìa (1,2,-2)(2,1,2)(-2,2,1) Los dos primeros de H (del plano) y el tercero del eje (H ortogonal)
Esta claro? espero que si... Suerte mañana!