Ejercicio 1. Producto de espacios vectoriales:
Sean \(V,W\) \(K\)-espacios vectoriales (no necesariamente de dimensión finita). Se define el producto cartesiano de \(V\) por \(W\):
Este espacio resulta ser un \(K\)-espacio vectorial con las operaciones:
\((v_1,w_1) + (v_2,w_2) = (v_1 +_V v_2, w_1 +_W w_2)\) y \(k \cdot (v,w) = (k \cdot_V v, k \cdot_W w)\) (No hace falta probarlo).
Exhibir una base de \(V \times W\) en función de una base de \(V\) y de una base de \(W.\) (Demostrar).
¿Cuál es la dimensión de \(V \times W\) si \(V\) y \(W\) tienen dimensión finita?
Ejercicio 2.
a) Sea \(\{u_1,...,u_n\}\) una base ortogonal de \(\mathbb{R}^{n}\) y sea \(U:= (u_1|...|u_n)\) la matriz de \(\mathbb{R}^{n \times n}\) cuyas columnas son los vectores (columna) \(u_1,...,u_n.\)
Probar que \(|det(U)| = ||u_1|| ... ||u_n||\) (Sugerencia: Calcular \(U^tU\)).
b) Sea \(B = \{v_1,...,v_n\}\) una base de \(\mathbb{R}^{n}\) y sea \(\{u_1,...,u_n\}\) la base que se obtiene aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a \(B.\)
Probar que \(\forall 1 \leqslant i \leqslant n\) se tiene \(||v_i||^2 \geqslant ||u_i||^2\), y que \(det(v_1|...|v_n ) = det(u_1|...|u_n ).\)
c) Desigualdad de Hadamard:
Probar que para todo \(V:= (v_1|...|v_n) \in \mathbb{R}^{n \times n}\) donde \(v_1,...,v_n\) son vectores columna cualesquiera, se tiene \(|det(V)| \leqslant ||v_1||...||v_n||.\)
Ejercicio 3.
Sea \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) la matriz que tiene todos sus coeficientes iguales a 1.
a) Probar que \(A\) es diagonalizable, y determinar \(D\) diagonal y \(P\) inversible tal que \(D = P^{-1} A P.\)
b) Sea
Ejercicio 4.
Sea \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}.\) Probar que \(det(e^A) = e^{tr(A)}.\)