[No resuelto] Final 9-4-13

Lindo final para entretenerse!

hola! ya había tratado de hacer el 3 hace rato y se que son las funciones impares. El tema es que no se como encarar la cuenta. ¿Me podrían dar alguna ayuda?

Gracias!! 😄

Sean \(\mathfrak{p} = \lbrace f \in C : f(x)=f(-x) \rbrace\) y \(\mathfrak{i} = \lbrace g \in C : -g(x)=g(-x) \rbrace\)

Notar que \(C = \mathfrak{p} \oplus \mathfrak{i}\) (Demostrarlo) (1)

Notar también que dada \(g \in \mathfrak{i} \: \forall \: f \in \mathfrak{p} , \: <f,g> = 0 \Rightarrow g \in \mathfrak{p}^{\bot} \Rightarrow \mathfrak{i} \subseteq \mathfrak{p}^{\bot}\) (Demostrarlo: Hacer la cuenta)

Ahora por (1) dada \(h \in \mathfrak{p}^{\bot} \: \exists \: ! \: f \in \mathfrak{p}, \: g \in \mathfrak{i}\) tales que \(h = f + g\)

Luego notar que en particular vale que \(<f,h>=0 \Rightarrow <f,f+g>=0 \Rightarrow \parallel f \parallel^2 + <f,g>=0\)

y como \(<f,g>=0 \Rightarrow \parallel f \parallel^2=0 \Rightarrow \parallel f \parallel = 0 \Rightarrow f=0\)

Luego \(h = g \Rightarrow h \in \mathfrak{i}\)

En conclusión si \(h \in \mathfrak{p}^{\bot} \Rightarrow h \in \mathfrak{i} \Rightarrow \mathfrak{p}^{\bot} \subseteq \mathfrak{i}\)

Finalmente \(\mathfrak{i} = \mathfrak{p}^{\bot}\)

😛 Hola. gracias por tu respuesta: Una pregunta:

Notar también que dada \(g \in \mathfrak{i} \: \forall \: f \in \mathfrak{p} , \: <f,g> = 0 \Rightarrow g \in \mathfrak{p}^{\bot} \Rightarrow \mathfrak{i} \subseteq \mathfrak{p}^{\bot}\) (Demostrarlo: Hacer la cuenta)

Esa es la cuenta que te contaba antes que no podía resolver. Se que hay que integrar y te tiene que dar 0.

Saludos

Sale con las propiedades de la integral. Separa de -1 a 0 y de 0 a 1. Después usa que sí invertis los extremos aparece un -1. Hace el cambio de variable x=-y. Y después usa la definición de función par e impar. Saludos!

¡¡¡Ya me salio!!! muchas gracias. No sabes el tiempo que había pensado este ejercicio (lo practiqué para cuando di el final y no me salía)

Además me di cuenta de que lo que estaba pensando estaba incompleto.

Gracias otra vez.
Saludos. 😛

4. a)

Sea \(B = \{v_{k+1},...,v_{k+r}\}\) una base de \(W\), con \(r = dim(W).\) Considero el conjunto \(T = \{v_1,...,v_k, v_{k+1},...,v_{k+r}\}.\)
Notar que \(dim(T) = k+r > k+n-k=n.\) (Hipótesis).
Por lo tanto \(T\) es un conjunto linealmente dependiente. Existen entonces, coeficientes \(a_i\), no todos nulos, tales que \(\sum_{i=1}^{k+r} a_i v_i = 0 = \sum_{i=1}^{k} a_i v_i + \sum_{i=k+1}^{k+r} a_i v_i.\) Mas aún, aseguro que existe algún \(a_i \neq 0 \\) con \(1\le i \le k\), porque de lo contrario, \(0+0=\sum_{i=k+1}^{k+r} a_i v_i\) lo que implica que el cero es combinación lineal de elementos de una base!
De manera casi idéntica se deduce que existe otro \(a_i \neq 0\) con \(k+1 \le i \le k+r\) usando la hipótesis de que \(\{v_1,...,v_k\}\) es linealmente independiente.
Luego, \(\sum_{i \in I} a_i v_i = - \sum_{i \in J} a_i v_i\), con \(I \subset \{1,...,k\}\) y \(J \subset \{k+1,...,k+r\}\) que no es otra cosa que una combinación lineal de \(\{v_1,...,v_k\}\) igualada a una combinación lineal de \(W.\)