Final del 25-6-13
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Tema
[No Resuelto] Final 25-6-13
En el 1 no entiendo que quiere decir exhibir una base de VxW en funcion de una base de V
No hay mucho que explicar. En función de una base de V y una de W
Tomás una base de \(V\), otra de \(W\) y fijate cómo las podés "juntar" para que te quede una base de \(V\)x\(W\).
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
Para el primero plantee para la base
Sean \(B_V\) y \(B_W\) bases de \(V\) y \(W\) resp.
$$B_{VxW} = \{(v,w) \mbox{ con } v \in B_V \mbox{ y } w \in B_W\}$$
Trato de ver que son li (que cualquier subconjunto de mi base es li) y que genera (que todo elemento de \(VxW\) se escribe como combinacion lineal de finitos vectores de mi base)
Para ver que genera lo que hice fue:
Sea \(z=(v,w) \in VxW\)
Como \(v\) se escribe como combinación lineal de finitos vectores de \(B_V\) y \(w\) se escribe como combinación lineal de finitos vectores de \(B_W\)
$$z=(v,w)=(\sum_{i=1}^{r} \alpha_i v_i,\sum_{j=1}^{s} \beta_j w_j)$$
Quiero separar esa suma en tipos de la pinta \((v_i,w_j)\) (que estan en mi base) sacando los escalares y separando sumas, utilizando la suma de vectores y el producto por escalar pero no tengo el mismo escalar en la dos partes y ahi me re trabo.
Está mal la base que propones vos. La que sirve es
$$B_{VxW} = \lbrace (v,0_w) : v \in B_V \rbrace \cup \; \lbrace (0_v,w) : w \in B_W \rbrace$$
Primero date una idea de lo que está pasando... ¿Y que mejor para empezar que espacios de dimensión 1?
Por ejemplo... \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \; x \; \mathbb{R}\)
Ahora sabemos que \(dim(\mathbb{R}) = 1\) y que \(dim(\mathbb{R}^2) = 2\) asi que uno empezaría a pensar que la \(dim( V \; x \; W) = dim(V) + dim(W)\)
Por otro lado una base de \(\mathbb{R}\) sería \(\lbrace 1 \rbrace\)
Así que podemos formar una base de \(\mathbb{R}^2\) haciendo \(\lbrace (v,0), (0,w): v,w\neq 0 \rbrace\)
Te dejo para vos generalizarlo como dice el ejercicio y probar que generan y son LI pero la idea es esta y si lo desarrollas en \(\mathbb{R}^2\) vas a ver que las demostraciones son casi análogas
Gracias por la ayuda! ahí salió
Alguien me tira una pista para el 3a, sale por induccion? no me sale
Calcula a mano autovalores y autovectores para n chico (n=4?) y te vas a dar cuenta como sale en general.
Firma
Quimey