Aquí les dejo otro final!
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Tema
[No resuelto] Final 22-2-13
Para el 5)
Aclaración: las palabras no llevan tildes porque me da paja ponerlo cuando escribo en Tex... Sólo para aclarar que no soy analfabeto jajaj
\(\textrm{Sea $ A \in K^{n x n} $ tal que $ Tr (A^j)= 0 \: \forall \: j=1,...,n \Rightarrow A $ es nilpotente $ \Longleftrightarrow A^n=0 \Longleftrightarrow $ 0 es el unico autovalor de $ A $}\)
\(\textrm{Supongamos que $ J_A = $}\)
$$\left(\begin{matrix} J_{\lambda_o} \ & \ddots \ & & J_{\lambda_r} \end{matrix}\right)$$
$$\textrm{Donde $ J_{\lambda_i} \in K^{n_i x n_i} $ con $ n_i \in \mathbb{N}, \lambda_i \neq \lambda_j $ si $ i \neq j $}$$
$$\textrm{Entonces $ n_i $ es la cantidad de veces que aparece el autovalor $ \lambda_i $ en la diagonal de $ J_A$}$$
$$\textrm{Por otro lado $ J_A = P^{-1}AP \Rightarrow 0 = Tr (A^k) = Tr( {I_n} A^k) = Tr (P P^{-1} A^k) = Tr(P^{-1} A^k P) = Tr( {J_A}^k) \Rightarrow Tr( {J_A}^k) = 0 $ }$$
$$\textrm{Pero ademas $ Tr( {J_A}^k) = n_o {\lambda_o}^k + ... + n_r {\lambda_r}^k $}$$
$$\textrm{Ahora bien supongamos que cero NO es el unico autovalor de A, luego $ J_A $ tiene la forma anterior donde $ n_i \in \mathbb{N} $ }$$
\(\textrm{Si pruebo que $ n_i =0 \: \forall \: i \Rightarrow $ absurdo y entonces cero es el unico autovalor de A y por ende A es nilpotente.}\) \(\textrm{Distingamos dos casos: Cero no es autovalor de A y cero es autovalor de A pero no es el unico (luego $ 1 \leq r $)}\)
$$\textrm{PRIMER CASO: Como cero no es autovalor, $ \lambda_j \neq 0 \: \forall \: j=0,...,r $}$$
$$\textrm{Busco las soluciones del sistema:}$$
$$\begin{cases}x_0 \lambda_0 + ... + x_r \lambda_r=0 \\ \vdots \\ x_0 {\lambda_0}^n + ... + x_r {\lambda_r}^n=0 \end{cases}$$
$$\textrm{Si X es sol del sistema entonces $ X \in K^{r+1} $ (notar que $ (n_0,...,n_r) $ es solucion)}$$
$$\textrm{Ahora considero el mismo sistema pero me quedo con las primeras r ecuaciones.}$$
$$\textrm{Luego si la unica solucion del segundo sistema es el cero entonces el cero es la unica solucion del primer sistema.}$$
$$\textrm{Pues toda solucion del primer sistema esta incluida en las soluciones del segundo.}$$
$$\textrm{Las soluciones del segundo sistema es el nucleo de la matriz B donde,}$$
$$\textrm{ $ B = \left(\begin{matrix} \lambda_o & \ldots & \lambda_r \\ \vdots & & \vdots \\ {\lambda_o}^r & \ldots & {\lambda_r}^r \end{matrix}\right) $ }$$
$$\textrm{Pero por Vandermonde $ \det (B) = \prod_{i = 0}^{r} \lambda_i \prod_{0 \leq j < l \leq r} (\lambda_l - \lambda_j) \neq 0 $ }$$
$$\textrm{Pues $ \lambda_i \neq 0 \: \forall \: i $ y $ \lambda_l \neq \lambda_j \: \forall \: l \neq j $}$$
$$\textrm{Luego B es inversible y su nucleo es el cero $ \Rightarrow (n_0,...,n_r)=(0,...,0) $}$$
$$\textrm{ SEGUNDO CASO: Como cero es autovalor pero no es el unico se tiene que $ 1 \leq r $}$$
$$\textrm{ Supongamos entonces sin perdida de generalidad que $ \lambda_r = 0 $}$$
$$\textrm{Considero entonces el siguiente sistema:}$$
$$\begin{cases}x_0 \lambda_0 + ... + x_{r-1} \lambda_{r-1}=0 \\ \vdots \\ x_0 {\lambda_0}^n + ... + x_{r-1} {\lambda_{r-1}}^n=0 \end{cases}$$
$$\textrm{Procediendo igual que en el primer caso se tiene que la unica solucion es el cero. Luego $ (n_0,...,n_{r-1})=(0,...,0)$}$$
\(\textrm{En conclusion cero es el unico autovalor y entonces A es nilpotente}\)
Si alguien puede ayudarme cn el ej 4, se los agradezco 🙂
Contanos que hiciste, en que te trabaste...
Firma
Quimey
El ejercicio 4 es un ejercicio de la guía 8 o 9 del segundo cuatrimestre 2012
Algunas ideas para el 3)
a)
Sean \(f,g : K^n \rightarrow K^n\) transformaciones lineales tales que \(f(v) = Av\) y \(g(v) = Bv.\)
\(Ker(g) \subseteq Ker (f \circ g)\), entonces, \(dim(ker(g)) \leqslant dim(ker(f \circ g)).\) Luego, \(rg(B) = rg(g) \geqslant rg(f \circ g) = rg(AB).\)
Por otro lado, \(Im(f \circ g) \subseteq Im(f)\), entonces, \(rg(AB) = rg(f \circ g) \leqslant rg(f) = rg(A).\)
b)
Sean \(f, g\) como en a). \(AB = 0 \Rightarrow f \circ g \equiv 0 \Rightarrow Im(g) \subseteq Ker(f)\), entonces, \(rg(g) \leqslant dim(ker(f)) \Rightarrow rg(f) + rg(g) \leqslant rg(f) + dim(ker(f)) = n.\) Por lo tanto, \(rg(A) + rg(B) \leqslant n.\)
c)
Sean \(f,g\) como antes. Si \(rg(f) + rg(g) < n \Rightarrow dim(ker(f)) + dim(ker(g)) > n\) (usar teorema de la dimensión para transformaciones lineales).
Luego, \(dim(ker(f) \cap ker(g)) = dim(ker(f)) + dim(ker(g)) - dim(ker(f) + ker(g))\) (usar teorema de la dimensión, esta vez, el de suma de subespacios).
Por último, \(dim(ker(f) \cap ker(g)) > n - dim(ker(f) + ker(g)) \geqslant 0.\)
Firma
$$Justifique\ todas\ sus\ respuestas.$$
Sea \(\{v_1...v_n\}\) BON de autovectores de \(f\).
\(f \circ f^* (v_j) = f(\sum_{i=1}^{n} \langle v_j ; f(v_i) \rangle v_i) = f(\sum_{i=1}^{n} \langle v_j;\lambda_i v_i \rangle v_i) = f(\sum_{i=1}^{n} \bar{\lambda_i} \langle v_j ; v_i \rangle v_i) = f(\bar{\lambda_j} v_j) = \bar{\lambda_j} f(v_j) = \bar{\lambda_j} \lambda_j v_j = | \lambda_j | ^2 v_j.\) En la primer igualdad uso la fórmula para la adjunta ( \(v_i\) son una BON), en la segunda que \(v_i\) es autovector de \(f\) asociado a \(\lambda_i\), y en la cuarta que \(B\) es una BON de \(V.\)
Por otro lado, \(f^* \circ f (v_j) = \sum_{i=1}^{n} \langle f(v_j) ; f(v_i) \rangle v_i = \sum_{i=1}^{n} \lambda_j \bar{\lambda_i} \langle v_j ; v_i \rangle v_i = \lambda_j \bar{\lambda_j} v_j = | \lambda_j | ^2 v_j.\)
Como ambas transformaciones coinciden en la base \(B\), son la misma.