[No resuelto] Final 8-3-13

Aquí les dejo el final!

Idea para el 3)

Para la ida, supongo que hay un \(\lambda\) autovalor de \(A\) y de \(B\). Sea \(v\) el autovector de \(B\) asociado a \(\lambda\). Entonces, \(\chi_A (B) v = 0.\) (Usar que \(Bv = \lambda v\)).
Como \(\chi_A (B)\) es cuadrada, que tenga kernel distinto de cero es equivalente a que no sea inversible.

Para la vuelta, el kernel de \((B - \lambda I)\) es cero para todo \(\lambda\) autovalor de \(A\), ya que, si un vector está en el kernel, entonces es autovector de \(B\) asociado a \(\lambda\).
Luego, \(\chi_A(B) = (B - \lambda_1 I )^{\alpha_1} ... (B - \lambda_r I)^{\alpha_r}\) es inversible por ser una multiplicación finita de matrices inversibles.

Editado 1 vez.

Idea para el 5)

Para la ida, si \(f^2 = I\) entonces el polinomio \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) anula a \(f\), por lo tanto \(m_f\) lo divide. Asi, los autovalores de \(f\) son \(1\) o \(-1\). Además se puede probar que \(f\) es diagonalizable, usando que \(f\) diagonal \(\Leftrightarrow m_f\) se factoriza linealmente.

La vuelta es casi trivial, gracias a que el producto de matrices diagonales se porta bien 😉

Alguna idea para el 4b) ida? Al ser f y g autoadjuntas las dos se diagonalizan con bon de autovectores. La clave creo que está en probar que tienen iguales avects pero no se como. Si el autoespacio tiene dimensión 1 sale porque g(v) y v están en el mismo subesp, con dimensión mayor voy al muere.

Por inducción en la dimensión probaste? Para el paso inductivo seguro que sirve que el \(E_{\lambda}\) y su complemento ortogonal son f y g invariantes

Si, me parece que es inducción a lo bestia: Restringís f y g a \(E_{\lambda}\) y \(E_{\lambda}^{\perp}\), las dos te quedan endomorfismos (porque los autoespacios son f y g invariantes) que conmutan (si conmutan en todo V, conmutan en un subespacio) en un K-ev de dimensión menor. Por hipótesis inductiva, cada restricción se diagonaliza con bon compartida. Al final tomás como última base la unión de las dos bases en \(E_{\lambda}\) y \(E_{\lambda}^{\perp}\) y está.

Se puede probar por induccion pero tu demostracion tiene por lo menos dos problemas:

1. No tiene caso base
2. Puede ser que \(E_\lambda=V\) por lo que la dimension no baja, este caso lo tenes que tratar aparte.