Para practicar para el final

Hola a todos! Dejo estos ejercicios que me parecieron bastante interesantes. Cualquiera que esté preparando el final de lineal creo que le va a venir bien! Si hay algún ejercicio que no les salga chiflen y posteo la solución. Saludos!

\(1)\) Sea \(A \in M_n(\mathbb{C})\) y sean \(\lambda_1, ... , \lambda_n\) sus autovalores contados con su multiplicidad y colocados en un órden prefijado. Demostrar que:

\(i) \: \exists \: U \in \mathfrak{U}(n)\) (unitarias) y \(T \in \mathfrak{Ts}(n)\) (triangulares superiores) tales que:

\(. \qquad b) \: d(T)=(\lambda_1, ... , \lambda_n)\) (léase la diagonal de T). Es decir, \(\: T_{ii} = \lambda_i \: \forall \: i=1,...,n\)

\(ii)\) Si \(A \in M_n ( \mathbb{R} )\) y \(\lambda_i \in \mathbb{R} \: \forall \: i = 1, \cdots , n \Rightarrow U \in \mathfrak{O}\) (ortogonales) y \(T \in M_n(\mathbb{R})\)

\(iii)\) Si \(B \in M_n(\mathbb{C})\) tal que conmuta con \(A \Rightarrow \: \exists \: \: U \in \mathfrak{U}(n) \:\) y \(\: T_1, T_2 \in \mathfrak{Ts}(n)\) tales que, \(A = U T_1 U^*, \: B = U T_2 U^*\) (Con la misma \(U\) ) y \(d(T_1)= (\lambda_1, ... , \lambda_n)\)
\(d(T_2)\) tendrá a los autovalores de \(B\) pero en un orden que no se podrá elegir

Sugerencia: Probar \(i)\) por inducción en n (el tamaño de la matriz A) y deducir \(ii)\) y \(iii)\)
El resultado anterior se conoce como el Teorema de descomposición de Schur

\(2) \: i)\) Sea \(A \in M_n(\mathbb{C})\) y sean \(\lambda_1 , ... , \lambda_n\) sus autovalores contados con su multiplicidad. Probar que son equivalentes:

\(. \qquad a) \: A\) es normal (i.e. \(A^*A=AA^*\))

\(. \qquad b) \: A\) es unitariamente diagonalizable (i.e. \(\: \exists \: U \in \mathfrak{U}(n), D\) diagonal tal que \(D = U^* A U\))

\(. \qquad c)\) Se satisface la igualdad \(\sum_{i,j = 1}^{n} |a_{ij}|^2 = \sum_{i = 1}^{n} |\lambda_i|^2\)

\(. \qquad d)\) Existe BON de autovectores de \(A\)

\(ii)\) Deducir que para toda matriz Hermítica (\(A=A^*\)) para toda matriz Antihermítica (\(A= -A^*\)) y para toda matriz Unitaria (\(A^{-1} =A^*\)) existe BON de autovectores .

Sugerencia: Utilizar el Teorema de Schur y notar que \({||A||^2}_F = Tr (A^*A) = \sum_{i,j = 1}^{n} |a_{ij}|^2\)**. Probar \(a) \Leftrightarrow b), c) \Leftrightarrow b), d) \Leftrightarrow b)\).
El resultado anterior se conoce como el Teorema Espectral para matrices normales

\(3)\) Sea \(A \in M_n(\mathbb{C}) \:\) NORMAL y sea \(\: \chi_A (X) = (X-\lambda_1)^{m_1} \cdots (X-\lambda_r)^{m_r}\). Utilizando \(2), i)\) probar que \(A\) se puede descomponer como \(A = \lambda_1 P_1 + ... + \lambda_r P_r\) donde los \(P_i \in M_n (\mathbb{C})\) satisfacen que:

\(i) \: {P_i}^2 = P_i \: \forall \: i=1, ... , r\) (son idempotentes, es decir, son proyectores)

\(ii) \: {P_i}^*=P_i \: \forall \: i=1, ... , r\) (son hermíticos)

\(iv) \: \sum_{i=1}^{r} P_i = I_n\) (verificar que \(( \sum_{i=1}^{r} P_i)x= x \: \forall \: x \in K^n\))

\(v) \: P_i = P_{Nu ( \lambda_i I_n -A)}\) (\(P_i\) es el proyector ortogonal cuya imagen es \(Nu ( \lambda_i I_n -A)\))

El resultado anterior se conoce como Teorema de descomposición espectral para matrices normales

Firma

$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$

Llego un poco tarde, pero tenes la solucion (o alguna pista) para el \(1)iii)\) y para la implicacion \(c) \Rightarrow b)\) del \(2)i)\)?

Para el \(1) iii.-\) usá la descomposición que te da el punto \(1) i.-\). Para el otro que preguntas basta notar que la matriz triangular superior que te da el punto \(1)\) es en realidad una matriz diagonal. Para esto podés usar tu hipótesis notando que \(Tr (A^*A) = Tr \left( (UTU^*)^*(UTU^*) \right)\) y fijate que te da eso.