Alguien me podría dar una mano con este ejercicio?? 🙁
$$\textrm{ $ A \in \mathbb{R}^{m \: \textrm{x} \: n}, B \in \mathbb{R}^{n \: \textrm{x} \: r} \Rightarrow rg(AB) \geq rg(A) + rg(B) -n $ }$$
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
#2 Kevin2501
Hola.
Sean \(f,g:{K}^{n} \rightarrow {K}^{n}\) tls dadas por \(f(x)=Ax\), \(g(x)=Bx\)
Entonces \(fog=AB\)
Por el teorema de la dimensión:
$$Dim(Im(g))=rg(B)=Dim(Im({f|}_{Im(g)}))+Dim(Nu({f|}_{Im(g)}))$$
Ahora, \(Im({f|}_{Im(g)})=Im(fog)\) y \(Nu({f|}_{Im(g)}) \subset Nu(f)\)
Entonces nos queda:
$$rg(B)=Dim(Im({f|}_{Im(g)}))+Dim(Nu({f|}_{Im(g)}))=Dim(Im(fog))+Dim(Nu({f|}_{Im(g)}))$$
\(=rg(AB)+Dim(Nu({f|}_{Im(g)})) \leq rg(AB) + Dim(Nu(f)) = rg(AB) + (n-rg(A)) \, \Leftrightarrow \, rg(B) \leq rg(AB) + n - rg(A) \, \Leftrightarrow \, rg(B)+rg(A)-n \leq rg(AB)\)
grande kevin!! jajaj gracias! no me habia dado cuenta que eras vos 😆