Hola! Quería saber si alguien tiene finales de Teresa Krick. Está tomando ahora, así que si alguien rindió en diciembre o el 22/02 y puede decirme que tomó se los agradezco!..
Firma
Ro!
Tema
Pedido de finales Teresa Krick
te cuento el del viernes mas o menos porque no me lo acuerdo perfecto, ni el orden
en el primero te daba dos espacios vectoriales V y W, te definia el conjunto (que llamaba V x W)de los (v;w) para todo v en V y w en W, te afirmaba que eso era un espacio vectorial, y te pedia una base en funcion de una base de V y otra de W, y te pedia la dimension de ese conjunto en funcion de las dimensiones de V y W en caso de que estas sean finitas
despues te daban dos matrices de K nxn y te pedia probar que el rg(AB) es menor o igual que el minimo entre el rango de A y el rango de B, eso en la parte a)... en la parte b) pedia demostrar que si A.B=0 entonces rg(A) + rg(B) menor igual que n.. y en la parte c) que si rg(A) + rg(B) es menor estricto que n entonces existe un x en Knxn talque Ax=0 y Bx=0
en otro te daban dos rectas L1 y L2 y un plano pi, y decia demostrar que L1 y L2 contendias en pi si y solo si L1 y L2 no son alabeadas
en otro te daba un endomorfismo, y pedia demostrar que si admite una base ortonormal de autovectores entonces es normal (o sea que f estrella compuesta con f es igual a f compuesta con f estrella)
y el ultimo te daba una matriz A en Knxn tal que la traza de A a la K es 0 para todo k entre uno y n
demostrar que A es nilpotente
pensalos y si necesitas una mano, menos el primero me salieron, aunque lamentablemente la ida del de variedades lineales me salio dsp del examen 😢
y ahora que pienso, salvo el primero estoy bastante seguro de los enunciados, porque te definia una suma y un producto raro en VxW
Hola! Podrías tirarme un par de ideas para el 2-c y el 5?? desde ya gracias 😛
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
en el 2-c también está la hipótesis de que AB=0??? o vale sin la hipótesis el resultado??
jajaja ya lo saqué era un boludez que no estaba viendo... el resultado vale sin la hipótesis.
tene cuidado igual, usar el de arriba creo que no sirve, casi entrego eso en el final, porq si queres probar que q implica r y probas que p implica q en el b), creo no podes afirmar lo que queres probar a menos q pruebes que r implica p
nono claro claro... en el ultimo hay que usar el teo de la dimension nada mas
ivoo escribió:
nono claro claro... en el ultimo hay que usar el teo de la dimension nada mas
claro, con el de tls le busque una equivalencia a la hipotesis y con el de subespacios a la tesis y no habia que usar nada mas que la suma de subespacios siempre queda en el msimo espacios vectorial
aaaaah, y tenes cuidado en el ultimo que yo por lo menos meti la pata, lo desarrollas re intuitivo sin dificultad pero en un momento algo que parece reeeee obvio, resulta ser mentira, usas vandermonde, un renglon mas y termino el ejcio
sisisi es verdad. en el ultimo yo lo probé por el absurdo suponiendo que cero no es el único autovalor. ahí dividí en dos caso
caso 1: cero no es autovalor entonces pim pum pam y llegas a una matriz de vadermonde que no es cuadrada entonces te quedas con los primeros que hacen que sea cuadrada y como cero no es autovalor entonces es inversible
caso 2: cero es autovalor pero no es el único. te queda la misma matriz que en el caso anterior pero con una columna menos. como cero no es el único seguro a la matriz le queda otra columna. pim pum pam vandermonde es inversible
ivoo escribió:
sisisi es verdad. en el ultimo yo lo probé por el absurdo suponiendo que cero no es el único autovalor. ahí dividí en dos caso
caso 1: cero no es autovalor entonces pim pum pam y llegas a una matriz de vadermonde que no es cuadrada entonces te quedas con los primeros que hacen que sea cuadrada y como cero no es autovalor entonces es inversible
caso 2: cero es autovalor pero no es el único. te queda la misma matriz que en el caso anterior pero con una columna menos. como cero no es el único seguro a la matriz le queda otra columna. pim pum pam vandermonde es inversible
tendria que escribir los "pim pum pam" para entenderlos.. por las dudas te cuento como lo hice
agarras la forma de jordan de A, la llamamos J, entonces reemplazas a A dentro de la traza por J y sus matrices de cambio de base, dentro de la traza todo conmuta, por lo tanto esas matrices se van, te queda la traza de J a la k, cuando elevas a la k a J la diagonal te queda elevada a la k (el resto de la matriz no importa total la traza no lo ve), te queda la suma de los avals elevados a la k y a la multiplicidad igualados a 0 y aca es dnd yo afirme q eso era claramente 0, pero si no entendi mal lo q me explico krick, eso es igual a vandormende por el vector columna de los avals, como vandermonde es inversible no queda otra que el vector columna sea 0, por lo tanto los avals son 0.
no quería escribirlo por que es una banda jajaja pero bueno me viene bien para el final... cualquier cosa que haya que corregir avisenme por favor...
y bueno, acá va el choclaso ajjaja (Aclaración: No escribo los tildes porque no se ponerlos con el Tex)
$$\textrm{Sea $ A \in K^{n x n} $ tal que $ Tr (A^j)= 0 \: \forall \: j=1,...,n \Rightarrow A $ es nilpotente $ \Longleftrightarrow A^n=0 \Longleftrightarrow $ 0 es el unico autovalor de $ A $}$$
\(\textrm{Supongamos que $ J_A = $}\)
$$\left(\begin{matrix} J_{\lambda_o} \ & \ddots \ & & J_{\lambda_r} \end{matrix}\right)$$
$$\textrm{Donde $ J_{\lambda_i} \in K^{n_i x n_i} $ con $ n_i \in \mathbb{N}, \lambda_i \neq \lambda_j $ si $ i \neq j $}$$
$$\textrm{Entonces $ n_i $ es la cantidad de veces que aparece el autovalor $ \lambda_i $ en la diagonal de $ J_A$}$$
$$\textrm{Por otro lado $ J_A = P^{-1}AP \Rightarrow 0 = Tr (A^k) = Tr( {I_n} A^k) = Tr (P P^{-1} A^k) = Tr(P^{-1} A^k P) = Tr( {J_A}^k) \Rightarrow Tr( {J_A}^k) = 0 $ }$$
$$\textrm{Pero ademas $ Tr( {J_A}^k) = n_o {\lambda_o}^k + ... + n_r {\lambda_r}^k $}$$
$$\textrm{Ahora bien supongamos que cero NO es el unico autovalor de A, luego $ J_A $ tiene la forma anterior donde $ n_i \in \mathbb{N} $ }$$
\(\textrm{Si pruebo que $ n_i =0 \: \forall \: i \Rightarrow $ absurdo y entonces cero es el unico autovalor de A y por ende A es nilpotente.}\) \(\textrm{Distingamos dos casos: Cero no es autovalor de A y cero es autovalor de A pero no es el unico (luego $ 1 \leq r $)}\)
$$\textrm{PRIMER CASO: Como cero no es autovalor, $ \lambda_j \neq 0 \: \forall \: j=0,...,r $}$$
$$\textrm{Busco las soluciones del sistema:}$$
$$x_0 \lambda_0 + ... + x_r \lambda_r=0$$
$$\vdots$$
$$x_0 {\lambda_0}^n + ... + x_r {\lambda_r}^n=0$$
$$\textrm{Si X es sol del sistema entonces $ X \in K^{r+1} $ (notar que $ (n_0,...,n_r) $ es solucion)}$$
$$\textrm{Ahora considero el mismo sistema pero me quedo con las primeras r ecuaciones.}$$
$$\textrm{Luego si la unica solucion del segundo sistema es el cero entonces el cero es la unica solucion del primer sistema.}$$
$$\textrm{Pues toda solucion del primer sistema esta incluida en las soluciones del segundo.}$$
$$\textrm{Las soluciones del segundo sistema es el nucleo de la matriz B donde,}$$
$$\textrm{ $ B = \left(\begin{matrix} \lambda_o & \ldots & \lambda_r \\ \vdots & & \vdots \\ {\lambda_o}^r & \ldots & {\lambda_r}^r \end{matrix}\right) $ }$$
$$\textrm{Pero por Vandermonde $ \det (B) = \prod_{i = 0}^{r} \lambda_i \prod_{0 \leq j < l \leq r} (\lambda_l - \lambda_j) \neq 0 $ }$$
$$\textrm{Pues $ \lambda_i \neq 0 \: \forall \: i $ y $ \lambda_l \neq \lambda_j \: \forall \: l \neq j $}$$
$$\textrm{Luego B es inversible y su nucleo es el cero $ \Rightarrow (n_0,...,n_r)=(0,...,0) $}$$
$$\textrm{ SEGUNDO CASO: Como cero es autovalor pero no es el unico se tiene que $ 1 \leq r $}$$
$$\textrm{ Supongamos entonces sin perdida de generalidad que $ \lambda_r = 0 $}$$
$$\textrm{Considero entonces el siguiente sistema:}$$
$$x_0 \lambda_0 + ... + x_{r-1} \lambda_{r-1}=0$$
$$\vdots$$
$$x_0 {\lambda_0}^n + ... + x_{r-1} {\lambda_{r-1}}^n=0$$
$$\textrm{Procediendo igual que en el primer caso se tiene que la unica solucion es el cero. Luego $ (n_0,...,n_{r-1})=(0,...,0)$}$$
$$\textrm{En conclusion cero es el unico autovalor y entonces A es nilpotente}$$