Enunciar y demostrar el teorema de descomposición primaria sobre un cuerpo arbitrario.
Definir la distancia entre dos variedades lineales, demostrar que se realiza y hallar los puntos en los que se realiza
Sea \(P_0\in K[x]\) un polinomio de grado \(d\) y consideremos \(S\) el subespacio de \(K[x]\) compuesto por sus múltiplos (es decir, el ideal que genera \(P_0\)):
a) Probar que cualquier subespacio \(T\subset K[x]\) tal que \(T\oplus S=K[x]\) tiene dimensión \(d\).
b) Sea \(T\) como en a), definimos \(\pi:T\oplus S \rightarrow T\) como la proyección en \(T\). Sea \(Q\in K[x]\), definimos \(f_Q:T\rightarrow T\) tal que \(f_Q(P)=\pi(PQ)\). Para cuáles \(Q\) es \(f_Q\) un epimorfismo?
c) Probar que si \(\alpha\) es raíz de \(P_0\), entonces \(Q(\alpha)\) es autovalor de \(f_Q\)
Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial de dimensión finita, \(f\) un endomorfismo de \(V\). Es cierto que existen bases \(B_1, B_2\) tales que \([f]_{B_1} = [f^*]_{B^*_2}\)? (\(f^*\) es la función \(f^*:V^*\rightarrow V^*\) tal que \(f^*(\varphi) = \varphi\circ f\)). Demostrar o dar contraejemplo.
3)a) Una base para \(S\) es \(\{x^j P_0\}_{j\in\mathbb{N}_0}\), que admite a \(T=\langle\{x^j\}_{j\in\mathbb{N}_0^{<d}}\rangle\) como complemento de dimensión \(d\) (esto es fácil de ver porque juntando ambos conjuntos tenemos un conjunto de polinomios de distinto grado, con todos los grados posibles), y todos los complementos posibles a un subespacio tienen la misma dimensión.
b) Los polinomios que verifican esto son todos los \(Q\) coprimos a \(P_0\).
Forma estúpida de probar esto que se me ocurrió en el final: Sea \(V\in T\). Vamos a mostrar que existe \(X\in T\) tal que \(f_Q(X)=V\) si \((Q:P_0)=1\). Como son coprimos, existen \(H_1, H_2\in K[x]\) tales que \(1=H_1Q+H_2P_0\). Multiplicando por \(V\), queda \(V=VH_1Q+VH_2P_0\). Como \(VH_1\in K[x]=S\oplus T\), entonces \(VH_1 = X+Y\) con \(X\in T\), \(Y\in S\). Reescribiendo, queda \(V=(X+Y)Q+VH_2P_0=XQ+YQ+VH_2P_0\), por lo que \(XQ = V - YQ -VH_2P_0\). Por lo tanto, \(f_Q(X)=V\).
Forma más práctica: Si existiese algún \(V\in T\) no nulo tal que \(f_Q(V)=0\), entonces \(VQ\in S\), por lo que \(P_0\mid VQ\) y como \((Q:P_0)=1\) se sigue \(P_0\mid V\), lo cual es absurdo pues \(V\not\in S\). Entonces \(f_Q\) es endomorfismo y monomorfismo, por lo que también es epimorfismo (porque \(T\) es de dimensión finita).
Falta ver que si \(Q\) comparte algún factor con \(P_0\) entonces \(f_Q\) no es epimorfismo. Supongamos que \((Q:P_0)=H\neq 1\). Como \(Q(P_0/H)\in S\), se sigue que \(f_Q(P_0/H)=0\). Esto nos dice que \(f_Q\) no es monomorfismo pues \(P_0/H\neq 0\); luego no es epimorfismo.
c) Si \(Q(\alpha)=0\), entonces \(P_0\) y \(Q\) no son coprimos (comparten el factor \((x-\alpha)\)), luego \(f_Q\) no es monomorfismo, por lo que admite núcleo no trivial (esto nos dice que se realiza el autovalor \(Q(\alpha)\)). Si \(Q(\alpha)\neq 0\), alcanza con considerar \(f_{Q-Q(\alpha)}\), que no es monomorfismo; cualquier cosa en el núcleo de \(f_{Q-Q(\alpha)}\) es un autovector de autovalor \(Q(\alpha)\) para \(f_Q\), ya que, si \(f_{Q-Q(\alpha)}(V)=0\), entonces \(\pi(QV)=Q(\alpha)\pi(V)\) y tenemos \(f_Q(V)=\pi(QV)=Q(\alpha)\pi(V)=Q(\alpha) V\) como queríamos.