Sea A\(\in {K}^{mxn}\)y B\(\in {K}^{nxr}\)probar que:
$$min\lbrace rg(A),rg(B)\rbrace \geq rg(AB) \geq rg(A) + rg(B) -n$$
probemos primero\(min\lbrace rg(A),rg(B)\rbrace \geq rg(AB)\)
para ver esto voy a probar que 1)\(rg(A) \geq rg(AB)\) y que 2)\(rg(B) \geq rg(AB)\)
1)sea A la matriz de f:\({K}^{n}\longrightarrow {K}^{m}\) y
sea B la matriz de g:\({K}^{r}\longrightarrow {K}^{n}\)
luego AB es la matriz de fog:\({K}^{r}\longrightarrow {K}^{m}\)
entonces rg(A)=dim(im(f)), rg(B)=dim(im(g)) y rg(AB)=dim(im(fog))
sea \(v\in im(g)\subset {K}^{n}, f(v)\in im(fog)\)pero\(f(v)\in im(f)\)luego
\(im(fog)\subset im(f)\) por lo tanto\(rg(AB) \leq rg(A)\)
2)qvq \(rg(B) \geq rg(AB) \Leftrightarrow r-dim(nu(fog))\geq r-dim(nu(g))\)
$$\Leftrightarrow -dim(nu(fog))\geq -dim(nu(g))$$
\(\Leftrightarrow dim(nu(g))\geq dim(nu(fog))\)(*)
veamos que si \(nu(g)\subset nu(fog) \Rightarrow (*)\)
Sea \(x\in nu(g) \Rightarrow (fog)(x)=f(g(x))=f(0)=0 \Rightarrow x \in nu(fog)\)
$$\Leftrightarrow dim(nu(g))\geq dim(nu(fog))\Rightarrow(*)$$
Veamos ahora\(rg(AB) \geq rg(A) + rg(B) -n\)
para ver esto veamos que\(nu(fog) \leq nu(f)+nu(g)\)
sea\(w\in nu(fog)\Rightarrow (fog)(w)=0 \Rightarrow f(g(w))=0 \Rightarrow g(w)\in nu(f)\)
entonces si restrinjo g a nu(fog) queda \({g}_{{|}}_{nu(fog)}:nu(fog)\longrightarrow nu(f)\)
por el teorema de la dimensión\(dim (nu({g}_{{|}}_{nu(fog)}))+ dim(im ({g}_{{|}}_{nu(fog)})= dim(nu(fog))\)
además se tiene:
*)\(nu({g}_{{|}}_{nu(fog)}) \subset nu(g) \Rightarrow dim (nu({g}_{{|}}_{nu(fog)}) \leq dim(nu(g))\)
*)\(im({g}_{{|}}_{nu(fog)}) \subset nu(f)\Rightarrow dim (im({g}_{{|}}_{nu(fog)}) \leq dim(im(f))\)
luego se tiene que \(dim (nu(fog))\leq dim(nu(g)) +dim(nu (f))\)
$$\Leftrightarrow -dim (nu(fog))\geq -(dim(nu(g)) +dim(nu (f)))$$
$$\Leftrightarrow r-dim (nu(fog))\geq r-(r-rg(B) +n-rg(A))$$
\(\Leftrightarrow rg(AB)\geq rg(B) -n + rg(A))\) que es lo que queriamos probar
muchas gracias Sofi por tu ayuda 🙂
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"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".