Tema
Dice...
\(A\in\mathbb{C}^{n\times n\) nilpotente y \(P\in\mathbb{C}[X]\) tal que \(P(0)=0\) entonces P(A) es nilpotente
Lo único que pensé es que como \(P=\sum_{i=1}^na_iX^i\) me queda que \(P(A)=\sum_{i=1}^na_iA^i\) luego al elevar a la k (índice de nilpotencia de A) , el térmido de menor grado me queda de grado k, de ahí que son todos 0 y listo. ¿que les parece? no séde que otra manera se podría pensar...
Como \(P(0)=0\), 0 es raiz de P por lo tanto \(P(x)=x.q(x)\) luego, \((P(A))^k=A^k.Q(A)^k\) (Hay que aclarar que esto vale porque si \(P\) y \(Q\) son polinomios, \(P(A).Q(A)=Q(A).P(A)\), ie, las matrices que son la valuacion de una matriz en un polinomio, conmutan.)
Luego como \(P(A)^k=A^k.Q(A)^k=0.Q(A)^k=0\), \(P(A)\)es nilpotente. (k=indice de nilpotencia de A)
Hay que notar que el indice de nilpotencia de \(P(A)\) es menor o igual que k, pues \(Q(x)\) puede tener a 0 como raiz y por lo tanto \(Q(x)=x.R(x)\) y nos quedaría \(P(x)=x^2.R(x)\) lo cual nos daria 0 al elevarlo a \([k/2]\)
Buenísimo!!!
super simple lo hiciste, menos mal... gracias!!!