Sea f un endomorfismo diagonalizable de \(\mathbb{R}^2\) Entonces existe un vector de \(\mathbb{R}^2\) tal que \(m_v=m_f\)
Bueno, hay dos chances:
- f tiene un sólo autovalor doble o sea \(\chi_A(X)=(X-\lambda)^2\) donde A es la matriz asiciada a f (en cualquier base)
veamos primero que \(m_A\neq\chi_A\)
Como f es diagonalizable de autovalor doble lambda, hay una base de V compuesta por autovectores asociados a él. Sea \(B=\{v,v'\}\) dicha base. Ocurre entonces que \((A-\lambda I)v=(A-\lambda I)v'=0\) o sea que \(Nu(A-\lambda I)=<v,v'>=\mathbb{R}^2\) es decir que \(A-\lambda I=0\Rightarrow m_A=X-\lambda\)
en definitiva \(m_A=X-\lambda\) Tomemos v autovector de lambda. Es claro que \(m_v=X-\lambda\) pues v es autovector y este es el mínimo grdo posible.
2)f tiene autovectores distintos \(\chi_A(X)=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\) Es claro que \(m_A(X)=(X-\lambda_1)(X-\lambda_2\)
Si tomamos \(v_1\; \text{autovalor de}\; \lambda_1\) y
\(v_2\; \text{autovalor de}\; \lambda_2\) consideramos \(v_1+v_2\) y vemos que \(m_A(A)(v_1+v_2)=0\)
ACA ESTÁ LA COSA:.... como pruebo que no hay ningun polinomio de grado 1 que sea minimal para este vector?
Ayuda! y gracias!