V es un espacio vectorial con pruducto interior y f un endomorfismo sobre V nilpotente tal que \(fof*=f*of\)
Probar que f=0 (sug: probar primero que fof*=0)
Bueno ahi va lo que hice, a grandes rasgos...
pruebo primero que fof* es autoadjunta (puede verse faCILmente) luego es diagonalizable, luego si A es la matriz asociada a f en la base canónica AA* es la de fof* con lo cual AA* es semejante a una matrisz diagonal. Pero como f es nilpotente A es nilpotente. Luego Elevando al orden de nilpotencia me queda \((AA*)^k=CD^kC^{-1}\Rightarrow D=0\) con lo cual todos los autovalores de fof* son 0 y como es diagonalizable la base de autovectores tiene imagen 0 , o sea fof* es 0.
A ver...hmm...
Si probaste que \(fof*=0\) Tenes que la función \(f\) restringida a la imagen de \(f*\), es la funcion nula. Te faltaría ver que sucede cuando restringis a \(f\) al nucleo de \(f*\) teniendo en cuenta que \(fof*=f*of\) . Como \(f\) es normal \(||f(v)||=||f^*(v)|| \; \forall v\), en particular, \(Nu(f)=Nu(f^*)\)
No hace falta que sea suma directa, como f es un endomorfismo. (f:V->V), dado cualquier vector de V, tiene que estar en el nucleo o en la imagen.(Puede estar en ambos)
como f es un endomorfismo. (f:V->V), dado cualquier vector de V, tiene que estar en el nucleo o en la imagen.(Puede estar en ambos)
No creo que esto sea cierto.
A ver.... ponele f:R^2 -> R^2. Con f(1,0) = (1,0) y f(0,1) = (0,0)
La imagen de esta transformación es <(1,0)>.
Y el núcleo es <(0,1)>
Fijate que (1,1) no está ni en el núcleo ni en la imagen.
para ver q F es cero hace el producto interno de F(v) contra el mismo y vas a ver q te da cero, pasa la F para el otro lado y te aparece la adjunta y te hace todo cero entonces F(V) = 0 para todo v
espero q se haya entendido
