Sean \(B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) y \(U=\{w_1,w_2,w_3\}\) bases de \(\mathbb{C}^4\) y \(\mathbb{C}^3\) respectivamente y \(f:\mathbb{C}^4\rightarrow\mathbb{C}^3\) tal que su matriz asociada en dichas bases es
hallar todos los a complejos tales que \(w=w_1+w_2-a^4w_3\in Im(f)\)
Planteo la idea a ver si está bien...
Para que w esté en la imagen de f, debe existir un v en \(\mathbb{C}^4\) tal que \(f(v)=w\) Poniendo que \(v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4\) y aplicando props de la transf lineal y def de matriz asociada me queda:
\(f(v)=a_1(2w_1+w_2)+a_2(w_1+w_3)+a_3(3w_1+w_2+w_3)+a_4(w_1+w_2-w_3)=w_1+w_2-a^4w_3\) Lo que me conduce a las siguentes ecuaciones :
REsulta que este sistema presenta que la 1ra ecuacion menos dos veces la segunda, me da los coeficientes de la 3ra. Haciendo las cuentas me queda que el término independiente es \(a^4-1\) Como quiero que esto sea 0 para que me quede eun sistema compatible, debe ser \(a^4-1=0\) y de ahí saco los valores de a