En \(\mathbb{R}^{8\times 8}\) se define en el conjunto \(X:=\{\text{matrices simetricas de }\mathbb{R}^{8\times 8}\}\) la relaciòn - dada por \(A-B\text{si y solo si}A=C^tBC\) para alguna C inversible.
i) Probar que es de equivalencia
ii) Hallar el nùmero de clases.
LA parte i) todo bien, pero la ii, no se me ocurre còmo contarlas. Pensè en ver elementos de la "base canónica de \(\mathbb{R}^{8\times 8}\) que son 64 en total e ir relacionàndolos pero no se me ocurre còmo. Ayuda con esto?
Gracias!
Justamente, mirá a que clase pertenece cada elemento de la base canónica. Esto es, fijate que elementos de la base están relacionados. De antemano, observá que \(\overline{{E}_{ii}}\eq=\overline{{E}_{jj}}\) pues \({E}_{ii}\sim {E}_{jj}\) para todo \(1\leq i,j\leq 8\). Para los otros elementos, suponé que están relacionados, o sea, tenés la matriz inversible deseada, hace la multiplicación a mano y fijate que te queda(no es engorroso)
En definitiva, seguí con la idea que pensaste que llegás a la resolución.
Saludo
ACLARACIÓN: omitir este post; el contenido es confuso... ver el último en el que está bosquejada la idea
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
perdón marce, ¿Qué querés decir con \(E_{ii}\) o con \(\overline{E}_{ii}\)?
Después... otra cosa. ¿no debería verlo en una base de X? o sea... tendría 32 vectores en realidad, si no conté mal.
Lo que yo decía era por ej, tomar una matriz simétrica de la base "canónica" de X y ver con qué está relacionada... pero ...¿como hago esto último? porque la C puede ser cualquiera.
Pero además... como esa matriz que tomé es simétrica, es diagonalizable, entocens está relacionada con una matriz diagonal...¡ah entonces... cada clase la puedo emparejar con una matriz diagonal... creo qeu por ahi anda no?
estuve pensando un poco y dije... bueno una manera de contar las clases es emparejarlas con la cantidad de matricesd diagonales que hay en el espacio. El tema es que no sé como contar esto, pues por ejemplo, la matriz que tiene al 1 en a11 pero el resto es cero no se relacionaría con la que tiene 2 en a11 y en el resto 0... o sea... habría infinitas matrices diagonales... :S:S??¿¿
Perdón, recién noté lo que puse, y me doy cuenta que está relativamente mal(en realidad, muy mal. La hora ayudó a la confusión).
Es un ejercicio de formas bilineales. Fijate que toda matriz simétrica \(A\) tiene una base \(B\) tal que \(A\eq={C}^{t}{|A|}_{B}C\) con \(C\) inversible, con \({|A|}_{B}\) diagonal con 1, -1 y 0 en la diagonal(estás usando que \(2\neq 0\)). Puesto que la cantidad de 1's, -1's y 0's es invariante dada una matriz \(A\), la cantidad de clases está determinada por qué cantidad de 1's, -1's y 0's tiene la matriz \(A\)(en realidad, de 1's y -1's puesto que la cantidad de 0's queda determinada luega de estas dos cantidades). Depende sólo de la cantidad pues la posición en la diagonal se puede permutar con una matriz de permutación \(M\) haciendo \({M}^{t}{A}_{B}M\).
Fijate si con esto anda.
Saludos
PD: omití todo lo que dije en mi post anterior. Aunque igual aclaro que \(\overline{A}\) denotaba ''la clase de A''