[NO RESUELTO] FINAL 9/09 EJ 2

Dice

Sea V un espacio vectorial de dimensiòn finita y \(T\subseteq V^*\) subespacio. Probar que existe un ùnico S tal que \(Sº=T\)

Lo busquè en la teorìa (de Sanchez) y no està. Alguna idea de donde sacarlo?

Editado 1 vez.

Hmm. ni idea de donde sacarlo, pero lo que yo haría es:

Primero vemos que existe algun S que cumpla eso:
Sea \(B^{*}=\{f_1,f_2,f_3, \cdots , f_r \}\)base de \(T\).
Sea \(S=\bigcap^{r}_{1} N_{f_i}\) Siendo\(N_{f_i}\) el hiperplano generado por el nucleo de \(f_i\)
Luego \(\forall v \in S\) \(f_j(v)=0\) con \(1\leq j \leq r\) ie, \(S^{\circ}=T\)

Ahora, unicidad, sea \(W / W^{\circ}=T\)

Tenemos entonces que \(W^{\circ}=T=S^{\circ}\) Luego como coincide su anulador, tenemos que \(W=S\).

Ya que estamos, probemos esto ultimo.

Como por hipotesis \(W^{\circ}=T^{\circ}\) Entonces queda que : \(Dim(W)=Dim(T)\) Veamos que uno esta incluido en el otro y listo el pollo: Se me ocurren 2 formas: 1) Usando que Si \(A\subseteq B \Rightarrow A^{\circ}\supseteq B^{\circ}\) y que \((A^{\circ})^{\circ}=A\). Como \(W^{\circ}=T^{\circ}\), en particular,\(W^{\circ}\subseteq T^{\circ}\)entonces \(W=(W^{\circ})^{\circ}\supseteq (T^{\circ})^{\circ}=T\) (Ahora que lo pienso, con esto ni hace falta usar la dim porque es analogo para el otro lado; aunque si se utiliza ese teorema para demostrar que el anulador del anulador deja el mismo conjunto...) 2)Sea \(\{v_1,\cdots , v_l \}\) base de S, como ya tenemos que \(S=\bigcap^{r}_{1} N_{f_i}\) y \(W^{\circ}=T=S^{\circ}\) , \(\forall v \in W f_j(v)=0 1\leq j \leq r\) pero entonces \(v \in Nu(f_j)\) para \(1\leq j \leq r\), como es para un vector arbitrario en \(W\), tenemos que \(W \subseteq S\)

Muchas gracias, entendí todo salvo el inicio, lo cual me dificultó como seguir...

qué queres decir con "el hiperplano GENERADO por el núcleo de f_i?" no me lo puedo imaginar la verdad, pensando especialmente que el núcleo de f_i (si no es (0) y estamos en espacios vectoriales infinitos (de dimension finita)) tiene infinitos elementos... ¿como es qe esto genera algo?

Disculpá mi ignorancia, me lo podrías aclarar?

muchas gracias!!!!!!!

Un comentario aparte...

Esta propiedad que vos decís de que \((S°)°=S\) en realidad está mal expresada de esa manera. Muchos lo dan así, pero ahora que estuve leyendo la carpeta de Zilber, él hace una aclaración interesante de este hecho. Lo que dice a grandes rasgos es que en realidad son ISOMORFOS, pues \(S\subseteq V\) mientras que \((S°)°\subseteq (V*)*\) y el espacio dooble dual no es lo mismo que V. Nada es simplemente un comentario... cuando cursé algebra lineal, nadie me lo contó. Me enteré despues...

Ah perdona, es simplemente el nucleo, pasa que como son los nucleos de funcionales lineales que devuelven un escalar, entonces el rango es 1 y por lo tanto, la dimension del nucleo es n-1 (siendo n la dimension del espacio), ie, un hiperplano.
(Basicamente es la interseccion de todos los nucleos.)