El final de Septiembre fue escrito (no oral como se pensaba), y eran 4 ejercicios. El profesor que tomó fue Carlos Sánchez.
Les doy una idea general de los 4 puntos que tomaron (no recuerdo los enunciados literalmente porque tuvimos que devolver el examen). A medida que recuerde mejor corrijo/completo.
Sea en V (dimensión finita) un endomorfismo nilpotente, S subespacio cíclico f-invariante de dimensión máxima. Probar que S admite un completo directo f-invariante.
V espacio vectorial de dimensión finita. T € V*, subespacio. Probar que existe un único S tal que Sº = T
En R 8x8, sea la relación ~ definida en el conjunto X de matrices simétricas, dada por:
A ~ B <=> B = Ct B C,
con C inversible.
i) Probar que es de equivalencia.
ii) Determinar el número de clases de equivalencia.
Demostrar que un endomorfismo autoadjunto es diagonalizable
Hola, el martes rindo el final de paso pregunto si alguien más lo está preparando estuve pensando los ejerciciose y paso el 2. Si alguien le encuentra algo mal o q no este claro le agradezco q lo acote y espero q le sirva a alguien.
Sea \(B^{*}_{T}= \{f_1,...,f_T \}\) base de \(T\)
Y sean \(f_{T+1},..,f_{n}\) Vectores Li de \(V^{*}\) Tal
q \(B^{*}=\{f_1,...,f_T,f_{T+1},..,f_{n}\}\) es base de \(V^{*}\).
A partir de esto \(\exists ! B=\{v_1,...,v_n \}\) base de \(V\) tal q \(f_i\(v_j \)=\delta_{ij}\) \(\forall 1\leq i,j \leq n\) ¿Hay q probar esto?
Sea \(B_S=\{v_{T+1},...,v_n \}\) base de \(S\)
qvq \(S^{ \º}=T\)
Primero \(\subseteq\)
$$S^{\º}=\{f \in V^{*} \ f(s)=0 \forall s \in S \}$$
$$T= <f_1,...,f_T >$$
Sea \(f\in V^{*}\) entonces \(f=\sum^{n}_{i=1}f(v_i)f_i\)
Si \(f\in S^{\º}\) entocnes \(f(v_i)=0\) \(\forall T+1 \leq i \leq n\)
Entonces \(f=\sum^{n}_{i=T+1}f(v_i)f_i \in T\)
Luego \(S^{\º}\subseteq T\)
$$\supseteq$$
Sea \(f\in T\) entonces \(f=\sum^{T}_{i=1}f(v_i)f_i\)
Sea \(s=\sum^{n}_{j=T+1}f_{j}(s)v_j \in S\)
La última igualdad se debe a q \(1\leq i \leq T\) y \(T+1\leq j \leq n\) Entonces son simpre distintos.
Entonces \(f\in S^{\º}\).
Luego \(S^{\º}\supseteq T\)
Porlo tanto \(S^{ \º}=T\)
unicidad
Sea \(S'\) tq \((S')^{\º}=T\)
QvQ \(S'=S\) Donde \(S=<v_{T+1},...,v_n >\)
Sea \(s'=\sum^{n}_{j=1}f_{j}(s)v_j \in S'\)
Como \((S')^{\º}=T\) entonces \(f_{j}(s)= \forall 1\leq j \leq T\)
Luego \(s'=\sum^{n}_{j=T+1}f_{j}(s)v_j \in S\)
Entonces \(S' \subseteq S\)
$$dim S' + dim (S')^{\º} = dim V=n$$
$$dim S + dim (S)^{\º} = dim V=n$$
Como \((S)^{\º}=T=(S')^{\º}\)
Entonces \(dim S'=dim S\)
Y \(S=S'\)
Empecé el 3.
\(A\sim B \Longleftrightarrow A=C^{t}BC\) con \(C\) inversible
i) 1) \(A\sim A \Longleftrightarrow A=C^{t}AC\) con \(C=I\) inversible se cumple
2) \((C.C^{-1})=I=I^t=(C.C^{-1})^{t}=(C^{-1})^{t}.C^{t}\) De donde
con \(C\) inversible
3) \(A\sim B \Longleftrightarrow A=C^{t}.B.C\)
\(B\sim D \Longleftrightarrow B=E^{t}.D.E\) con\(E\)inversible y \(D\in X\)
Entonces \(A=C^{t}.(E^{t}.D.E).C={(EC)}^{t}.D.(EC) \Longleftrightarrow A \sim D\)
ii) Sea \(A\in\mathbb{R}^{nxn}\) una matriz simétrica. Entonces existe una matriz ortogonal \(O\in\mathbb{R}^{nxn}\) tal q \(O^{t}AO\) es diagonal.
Entonces llegue a q las clases de equivalencia son las las clases de equivalencia de todas las diagonales de \(\mathbb{R}^{8x8}\) Pero x ejemplo la clase de eqivalencia de \(I\) es la misma q la de\(2.I\). Entonces No es suficiente falta.
hola chris! lo que preguntaste en rojo (ej 2) si había que probar (que si tenes una base del dual existe una única base del espacio tal que blabla), SÍ HABÍA que probarlo, a andrés le puso mal todo el ejercicio por no haberlo probado.
suerte! 🙂
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Mil gracias Bel!. Rindo mañana y tenog un julepe pero estudié bastante creoq me va a ir bien, bah! esperemos y esperemos q sea benévolo corrigiendo. Saludos.