[No resuelto] Ejercicio propuesto por Carlos Sanchez.

Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión finita tal que \(V\) no es el vector nulo
Sobre un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial Con \(\mathbb{K}\) infinito.
Probar que no se puede expresar \(V\) como unión finita de subespacios propios.

Estaba hablando con Della Barca Juan José sobre el ejercicio 13 de Dual y justo llegó Carlos Sanchez
y dijo que ese ejercicio le hizo acordar a este. Se vé que si \(\mathbb{K}={\mathbb{Z}}_p\)
No lo cumple pues es finito. Desde ya gracias, saludos.

Esta es una de las preguntas más lindas del álgebra lineal 🙂. Es asombroso que se puede generalizar de muchas maneras, y que hay demostraciones algebrogeométricas [Krull se dio cuenta], topológicas [Caĺculo Avanzado, ¿alguien, alguien?], algebraicas [hay una pista en una de las guías de lineal...], etc. Prohibo a Quimey y a exe que contesten, porque ya todos sabemos que ustedes saben 😛. Quiero leer soluciones de los demás!

Un par de generalizaciones:

a) Si \(E\) es un \(\mathbb R\)-espacio vectorial normado completo de dimensión infinita, no se puede escribir como la unión de numerables hiperplanos.

b) Dadas funciones polinomiales en \(n\) variables \(f_1, \ldots, f_n : \mathbb R^n \to \mathbb R\), \(\mathbb R^n\) no se puede escribir como la unión de las superficies \(\{f_1(x) = 0\} \ldots, \{f_n(x)=0\}\).

\($Por inducci\'on en la dimensi\'on de $V$. Si $\dim V = 1$ es obvio (porque no hay subespacios propios). Supongamos que lo probamos para dimensi\'on $n-1$ y vamos a probarlo para dimensi\'on $n$, con $n \geqq 2$. Supongamos que $V_1,\ldots,V_k$ son subespacios propios de $V$ tales que $V_1\cup \cdots \cup V_k = V$. Sea $S$ un subespacio de $V$ de dimensi\'on $n-1$. Tenemos $(V_1\cap S) \cup \cdots \cup (V_k\cap S) = (V_1\cup \cdots \cup V_k) \cap S = V \cap S = S$, as\'i que $(V_1\cap S) \cup \cdots \cup (V_k\cap S) = S$ y por hip\'otesis inductiva sobre $S$ obtenemos que alguno de los subespacios $V_1\cap S, \ldots, V_k\cap S$ es $S$.\) \($Como la dimensi\'on de cada uno es a lo sumo $n-1$ y la de $S$ es exactamente $n-1$ se sigue que hay alguno, $V_i$, con $V_i = S$. Eso significa que entre $V_1,\ldots,V_k$ aparecen todos los subespacios de dimensi\'on $n-1$, por lo que se podr\'a llegar a contradicci\'on s\'olo con mostrar infinitos subespacios $S$ distintos de dimensi\'on $n-1$. Ahora sea $\{ v_1,\ldots,v_n\}$ una base de $V$ y sea $S_a = \langle v_1,\ldots,v_{n-1}+av_n\rangle$, para todo $a\in K$; se ve f\'acil que si $a\neq b$ entonces $S_a + S_b = V$; si $S_a = S_b$ se tiene $S_a + S_b = S_a \subsetneq V$ as\'i que $a = b$. Como $K$ se supon\'ia infinito el resultado sigue.\)

¿Se puede demostrar para V de dimensión infinita? Mis ideas no funcionan.

Si el espacio es de dimensión infinita y es normado(es decir, hay una distancia que verifica las propiedades de una norma) y además es completo(en el sentido que las sucesiones de Cauchy convergen)[resumiendo todo, si el espacio es de Banach] entonces no vale.