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Enunciar y demostrar el teorema de la dimension para trasformaciones lineales.
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Sean \(A\)y \(B\) matrices de \(K^{nxn}\). Probar que \(det(AB)=det(A)det(B)\)
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Sea \(A \in K^{nxn}\) y sean \(\lambda_1 ... \lambda_r\) todos los autovalores de \(A\)en \(K\), con \(\lambda_i \not= \lambda_j\) si \(i\not=j\). Para cada \(\lambda_i\) sea \(E_{\lambda_i} = \lbrace x\in K^n / Ax=\lambda_i x \rbrace\). Probar que \(A\) es diagonaliable en \(K^n\) si y solo si \(X_A=(x-\lambda_1)^{a_1}....(x-\lambda_r)^{a_r}\) con \(a_i= dim E_{\lambda_i}\)
4)Se considera \(\mathbb{R}^n\) con el producto interno canonico. Sea \(W \subseteq \mathbb{R}^n\)un subespacio y sea\(p_W : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) la proyeccion ortogonal sobre \(W\). Se define \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\)de la siguiente manera \(f(x)= 2p_w(x)-x\)
i) Probar que \(f\) es ortogonal y autoadjunta
ii) Probar que si \(g : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) es una transformacion lineal ortogonal y autoadjunta, existe \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) un subespacio tal que\(g= 2p_S- id\)
- Decidir si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones. Justifica
i) Sean \(A\) y \(B\) matrices no nulas en \(K^{nxn}\) tales que \(rg(A)=n-1\). Entonces \(rg(AB) \geq rg(B)-1\)
ii) Sea \(A\) en \(K^{nxn}\) tal que \(X_A=x^2+bx+c\). Entonces \(A\) es semejante a una matriz de la forma$$\left(\begin{matrix}0 & -c \ 1 & b\end{matrix}\right)$$
iii) Sea \(V\) un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial y sea \(\Phi :V x V \rightarrow \mathbb{C}\) una forma bilineal simetrica tal que existe una base \(B=\lbrace v_1...v_n\rbrace\)tal que \(\Phi (v_i,v_i) > 0\)para todo vector de la base, entonces \(\Phi\)es un producto interno.
Bueno, aca esta el final que tomaron el 3/3/09. Al parecer los finales de lineal suelen ser de esta forma tres teoricos, uno medio teorico-practico y unos cuantos verdaderos o falsos. Los no teoricos se suelen repetir aparentemente porque el 4 y el primer v o f ya los habia visto y pensando tranquilo en mi casa 😄