Bueno les dejo un ejercicio que nunca me salio.
A ver si encuentran mi error, aca va:
Sea \(f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}\) la transformacion lineal definida por :
$$f(x,y,z)=(x-y,y+z)$$
Y sean \(\mathbb{S}=<(1,2,1)>, \mathbb{T}=\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^{2}/ 3x-2y=0\rbrace , v =(2,3)\). Describir \(f(\mathbb{S}), {f}^{-1}(v)\) y \({f}^{-1}(\mathbb{T})\)
Ahora calculo \({f}^{-1}(v)\).Aca se me presento el 1er problema : ( :
Para empezar : \({f}^{-1}(v) = \lbrace (x,y,z) \in\mathbb{R}^{3}/ f(x,y,z)= v\rbrace\)
Resuelvo:
$$f(x,y,z)=v=(2,3)\Rightarrow (x-y,y+z)=(2,3)$$
me quedo el sig. sistema:
$${x-y=2}$$
$$y+z=3$$
De la 1er ecuacion saco que :\(x=2+y\)
De la 2da :\(z=3-y\)
si hago \(f(\lambda(1,1,-1)+(2,0,3))= \lambda f(1,1,-1)+f(2,0,3)=\lambda(0,0)+ (2.3)\)
¿Esta bien esto?
O sea me dio una recta como solucion, pero el vector director pertenece al nucleo de f, ¿Esta bien que quede asi escrita la solucion?
Porque de sacarle ese vector direccion me quedaria igual :p
Ahora con el otro punto:
Pongo de una el generador de \(\mathbb{T}\):
$$\mathbb{T}=<(2,3)>$$
Sabiendo que \({f}^{-1}(\mathbb(T)) = \lbrace (x,y,z) \in\mathbb{R}^{3}/ f(x,y,z)\in\mathbb{T} \rbrace\)
$$\Rightarrowf(x,y,z)=\alpha(2,3)$$
Resolviendo esto, es igual que lo anterior solo que tengo un \(\alpha\) multiplicando a \(v\)
en el 2do caso no es necesario que des tanta vuelta! \(f^{-1}(v)\) es un conjunto en el dominio de f. Es la recta que obtiviste al principio con vector (1,1,-1) y que pasa por 2,0,3
Cuando vos le aplicaste f a cualqueir punto de esa recta te dio el 2,3 independientemente del valor de lambda. (aunque no creo que sea necesaria esa comprobación pues es exactamente lo mismo que hiciste antes pero al reves)
En resumen, el ejercicio terminaría cuando vos das la recta
En el caso 3, no lo hice, pero no es descabellado que te quede una solución que dependa de dos parámetros. Si lo pensás geométricamente el conjunto \(f^{-1}(T)\) te estaría dando un plano en \(\mathbb{R}^3\) cuya imagen es la recta T. ¿está claro?