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preguntonta

2 respuestas 6278 visitas 2010-07-11

#1 Erizo 2010-07-11 23:38

¿Es cierto que \(\overline{<x,y>}=<\overline{x},\overline{y}>\)?
A mi me suena que si, pero es una respuesta moral, tampoco busqué mucho un contraejemplo, probé con un par y no encontré. Me suena a que se puede demostrar por el hecho que <> se puede escribir como "operaciones con las coordenadas de x,y" y conjugar es distributiva con todas... que se yo...

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#2 FJL 2010-07-12 01:23

Lo intento hacer por la forma que dijiste vos.
Sea \(V\) un \(\mathbb{C}\)-espacio vectorial, de dimensión \(n\). Sea \(B = \{v_1, .., v_n\}\) una base ortonormal de \(V\).
Sean \(x, y \in V\), tal que \(x = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i, y = \sum_{i=1}^n \beta_i v_i\).

Entonces, \(\overline{x} = \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i} v_i, \overline{y} = \sum_{i=1}^n \overline{\beta_i} v_i\).

\langle \overline{x}, \overline{y} \rangle = \langle \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i} v_i, \sum_{i=1}^n \overline{\beta_i} v_i \rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle \overline{\alpha_i} v_i, \overline{\beta_j} v_j \rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \overline{\alpha_i} \beta_j \langle v_i, v_j \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i} \beta_i

Veamos al otro.

\overline{\langle x, y \rangle} = \overline{\langle \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i, \sum_{i=1}^n \beta_i v_i \rangle} = \overline{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle \alpha_i v_i, \beta_j v_j\rangle} = \overline{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \overline{\beta_j} \langle v_i, v_j \rangle} = \overline{\sum_{i=1}^n \alpha_i \overline{\beta_i}} = \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i \overline{\beta_i}} = \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i} \beta_i

Si no me mandé ninguna macana, es cierto 🙂

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#3 Erizo 2010-07-12 01:25

gracias fjl 🙂. Con eso se reduce mucho un ejercicio que me estaba rompiendo la cabeza 🙂