Tema

Duda sobre independencia lineal

4 respuestas 8245 visitas 2010-05-12

#1 aeiou 2010-05-12 21:33

Tengo el siguiente problema:
Tengo un conjunto con N vectores ortogonales entre si (pertenecientes a (R^n)), y las normas de estos son distintas de cero,¿Es verdad que estos vectores son LI?
Si alguno tiene la demostracion o algun link con esta le agradeceria que lo pasara!

saludos!

#2 bel 2010-05-13 01:44

http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra ... itulo8.pdf

Proposición 8.16

Firma

Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")

#3 aeiou 2010-05-14 22:58

Bueno la demostracion es la siguiente :

Lo que no entiendo es la parte cuando hace el producto interno :

<0.\({v}_{j}\)>

Que quiere decir esto, ¿Que hizo el producto con todos los vectores del conjunto?

pd : muchisimas gracias bel : d

#4 bel 2010-05-15 02:05

hace el producto interno entre el vector nulo y el j-ésimo vector del conjunto, que da 0, por definición de producto interno.
después, usa el hecho de que el vector nulo es la combinación lineal de ciertos vectores de la conjunto,

\sum_{i=1}^{r} {\alpha}_{i}{v}_{i}=0

esta suposición es la que hacés siempre que querés ver independencia lineal entre vectores. si los vectores son linealmente independientes, entocnes esa suposición debería llevarte al resultado de que \({\alpha}_{i}=0 \forall i\). y bueno, una vez que reemplaza el vector nulo por la correspondiente combinación lineal de vectores del conjunto, usa propiedades del p.i. para concluir que \({\alpha}_{j}=0\), donde j es el índice del vector con el que hiciste el producto interno contra el 0. como podes hacer eso para todos los j del conjunto, llegas a la conclusión de que todos los \(\alpha\) tienen que ser 0, luego el conjunto es linealmente independiente.

espero haber ayudado (y no haberla embarrado más jaja)

#5 aeiou 2010-06-16 04:01

Listo creo que entendi :

Para ver si los vectores de un conjunto son LI o no, se usa :

\sum_{i=1}^{r}{\alpha}_{i}{v}_{i}=\overrightarrow{0}

Si son LI, entonces, \({\alpha}_{i} = 0\forall i\) Supuso que son LI, entonces, tiene que probar \({\alpha}_{i} = 0\forall i\)

Despues uso que para \(0\leq j \leq 1\) vale \(<\overrightarrow{0},{v}_{j}> = 0\)
Hasta aca nada nuevo, el producto interno ese siempre va a dar cero.
Ahora escribio el \(\overrightarrow{0}\) como \(\sum_{i=1}^{r}{\alpha}_{i}{v}_{i}=\overrightarrow{0}\)

Entonces le quedo:

<\sum_{i=1}^{r}{\alpha}_{i}{v}_{i},{v}_{j}> = 0

O lo que es lo mismo:

<\alpha}_{1}{v}_{1}+\alpha}_{2}{v}_{2}+...+\alpha}_{i}{v}_{i} , {v}_{j}>=0

Si distrubuyo:

\alpha}_{1}.{v}_{1}.{v}_{j}+\alpha}_{2}.{v}_{2}.{v}_{j}+...+\alpha}_{i}.{v}_{i}.{v}_{j}=0

\(\Rightarrow\alpha}_{1}.0+\alpha}_{2}.0+ ... +\alpha}_{i}.0 =0\) pues son todos ortogonales entre si.

El unico que me sobrevive es el termino \(\alpha}_{j}{v}_{j}.{v}_{j}\), entonces, me qeda:

\alpha}_{j}{v}_{j}.{v}_{j}=0

\Rightarrow\alpha}_{j}.\parallel{v}_{j}\parallel^{2}=0

Como \(\parallel{v}_{j}\parallel\neq0\) \(\forall j\) \(\Rightarrow {\alpha}_{j} = 0\)
Como \(0\leq j \leq 1\), entonces me sale que todos los \({\alpha}_{j}= 0\).

Bueno es lo que entendi de lo que explico Bel (nose si peor explicado jaja). Muchas gracias por la ayuda Bel, un poco tarde, pero mejor tarde que nunca!

saludos!!