Dice
Sea \(X\) un conjunto finito. Hallar la cantidad de acciones de \(\mathbb{Z}\) sobre \(X\).
No pido la resolucion, solo alguna/s pista/s sobre como arrancar...
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Tema
[Resuelto] ej 14 Practica 2 (cursada sanchez)
Vos sabés que \(Z\) es cíclico, así que fijate con que te alcanza para definir la acción
Firma
Daniel
Para cerrar el post, esto da \(\vert X \vert !\)
Lo completo, solo para que quede escrito en el foro
Dar una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) es dar un morfismo que sale de \(G\) y cae en el grupo de permutaciones de \(X\) que contiene \(|X|!\) elementos.
Ahora bien, en este caso particular \(G= \mathbb{Z}\) es cíclico infinito. Entonces si definimos al morfismo \(\phi\) en \(1\) (que genera a \(\mathbb{Z}\)), luego para todo entero \(k\) tenemos:
$$\phi (1)= \sigma$$
$$\phi(k)= (\sigma)^k$$
Es fácil ver que la función definida así es un morfismo de grupos (y es la única que podemos hacer para que sea morfismo), para cualquier \(\sigma \in S_X\)