\({\mathbb{F}}_{p}\)- Espacios vectoriales.
Sea \(G\) un grupo abeliano y sea \(p\) un numero primo.Supongamos que todo elemento de \(G\) tiene orden \(p\). Mostrar que es posible definir una multiplicacion \(*: {\mathbb{F}}_{p}\) x \(G\longrightarrow G\) por escalares de \({\mathbb{F}}_{p}\) de manera que \((G,+,*)\) resulte un \({\mathbb{F}}_{p}\) - espacio vectorial.
Por definición de acción de un cuerpo \(k\) sobre un espacio vectorial \(V\),
debe pasar que \(1.v = v\), para todo \(v \in V\).
Entonces, si \(k\) actúa en\(V\) y
\(n = 1+...+1 \in k\) ,es la suma del \(1\) del cuerpo \(n-1\) veces (hay
\(n\) sumandos),
entonces \(n.v = (1+...+1).v = 1.v+...+1.v = v+...+v\), por
distributividad.
Ahora ya tenemos todo lo que se necesita, porque todo elemento de
\(k={\mathbb{F}}_{p}\) se escribe como suma de
\(1\)'s
defino asi \(n.v = v+...+v\), si \(n \in{\mathbb{F}}_{p}\)
y \(v \in G = V\)
(por lo dicho antes no hay otra posible
definición). Todo lo escrito antes tiene sentido porque todo elemento
\(v\) de \(G\) tiene orden \(p\)