Hola,
Haciendo los primeros ejercicios de la práctica 6, me pregunté de qué manera me podía dar cuenta si me faltaba un grupo abeliano por escribir. Entonces empecé a pensar en una sucesión que dado un número natural n, me diera cuántos grupos abelianos de orden n puedo obtener. Para no tener kilombo con el nombre, le puse G(n).
La primera propiedad importante, y bastante trivial creo yo, es que \(G(n \centerdot m)=G(n) \centerdot G(m)\) con \((m:n)=1\). Entonces, gracias al TFAritmética, dado un n, si queremos calcular G(n) basta con descomponer a n en producto de potencias de primos.
Otro detalle importante es que si p y q son primos, entonces \(G(p^k)=G(q^k)\) con \(k\) natural.
Asi que el problema se reduce a saber cuánto vale \(G(p^k)\) para cada valor de k, o como la llamo de ahora en más \(g(k)\). He aquí la parte complicada, porque no tengo idea de que sucesión puede ser. Conozco los primeros 9 valores, después me cansé:
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g(1)=1
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g(2)=2
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g(3)=3
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g(4)=5
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g(5)=7
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g(6)=11
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g(7)=14
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g(8)=22
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g(9)=30
Por como uno va construyendo los grupos, es claro que se la puede sacar de manera recursiva, pero aún sigo trabajando en ello. Y también me dí cuenta que es "parecida" a la Fibonacci, aunque creo que ya se les habrá cruzado por la cabeza.
Cualquier sugerencia es bienvenida.
Saludos!