[Resuelto] Práctica 1 - Ej 18

Dice: Escriba el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento del siguiente sistema: una máquina de Atwood con una cuerda de longitud L, una polea con momento de inercia I y que rueda sin deslizar con la cuerda. (la polea cuelga del techo mediante un resorte de constante k) (perdón por el péeeesimo dibujito)

Bueno, yo hice esto, pero no lo defendería a muerte, digamos, jaja:

Bueno, en primer lugar dije que el sistema tiene dos grados de libertad. Considero un eje vertical con origen en el techo y que sube hacia "abajo", es decir, \({x}_{1}\) es la distancia del techo a la masita 1, y lo mismo para la masita 2. Además consideré \({X}_{CM}\) la posición del centro de masa de la polea, y el ángulo \(\theta\) de rotación de la polea.

Tengo dos ecuaciones de vínculo:

\((1) ({x}_{1}-{X}_{CM})+({x}_{2}-{X}_{CM})=L\) pues la cuerda tiene longitud L
\((2) \dot{ \theta } R = \dot{{x}_{2}}\) porque la cuerda no desliza (y supongo también que es inextensible y de masa nula)

Usando esto obtengo

y, usando que la masa de la polea se despeja como función del momento de inercia y el radio:

Resto y derivo (y derivo, y derivo, y resto, y derivo), llegando a las siguientes ecuaciones del movimiento:

\({X}_{CM}) \rightarrow ( {m}_{1}+{m}_{2}+\frac{I}{{R}^{2}} ) \ddot{{x}_{2}}- 2 {m}_{1} \ddot{{X}_{CM}} + ({m}_{1}+{m}_{2})g=0\)

las unidades al menos (creo) que quedaron b ien, pero la verdad es que no tengo ni idea de si está bien o no.. no sé cómo saberlo tampoco. me gustaría que si alguien lo hizo me cuente si lo pensó como yo, si le ve algún error, o si no cómo lo pensó, o etc.
¿qué es lo que no me convence? algunas cosas que me parece uqe quedaron feamente asimétricas y no sé por qué, como que en muchos términos aparece sólo m1 y no m2.. no digo que no peuda ser así, de hecho, lo que digo es que no entiendo cómo saber si tiene sentido o no, jaja, malditas magnitudes sin significaco físico explícito

Bueno, desde ya gracias 🙂

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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")

Está bien, te olvidaste un par de cosas solamente...

Primero, vos decís que la polea tiene masa, no lo aclaran en el problema (puede tener momento de inercia pero masa despreciable, ni idea la verdad). Pero bueno, si decís que tiene masa entonces no sólo tiene que aperecer un término en T debido a su rotación sino también a su traslación, o sea, \(\frac{I}{{R}^{2}} \dot{{X}_{cm}}\). También te faltó la energía cinética de la masita dos y en el potencial del resorte no pusiste \({l}_{0}\) (eso talvez fue intencional, pero lo digo por las dudas).

Feliz día de la primavera

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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'

uy sí, tenés razón.. la energía cinética de la masa 2 la había puesto (me la olvidé cuando pasé el problema), y el resorte lo consideré slinky porque no decía que tuviera una longitud de equilibrio (y por facilidad de las cuentas, supongo :p) pero.. la verdad se me re pasó lo de la energía cinética de traslación, qué bajón. mil gracias pato! y feliz día de la primavera para vos también. nos vemos mañana con los capacitores.