Tengo dudas sobre qué hacer con unos potenciales..
Enunciado:
El sistema está compuesto por una esfera conductora sólida (conductor 1) de radio a, la cual se halla rodeada por una cáscara esférica conductora (conductor 2) de radio b y espesor despreciable pero no nulo. Entre ambos conductores hay otra cáscara esférica conductora de radio c, con carga \({Q}_{0}\). Todas las esferas involucradas son concéntricas. Inicialmente los conductores 1 y 2 se hallan conectados a sendas baterías que los mantienen a potenciales \({V}_{1}\) y \({V}_{2}\), respectivamente.
a) Determine la carga total de cada conductor y diga cómo está distribuída.
b) Calcule el potencial electrostático en todo punto del espacio.
c) Encuentre los coeficientes de capacidad y de inducción mutua correspondientes a los conductores 1 y 2.
d) Si ahora se desconectan las baterías y se conecta el conductor 2 a tierra, halle nuevamente el potencial electrostático en todo punto del espacio.
Lo que hice:
En primer lugar, planteé la distribución de las cargas. Se distribuyen uniformemente sobre las superficies (radio a, b y c). Para el radio b consideré una sola distribución ya que dice que el espesor es despreciable.
Ahora aprovechando el dato de que la cáscara b era despreciable pero de espesor no nulo, hago Gauss adentro del conductor y obtengo \({Q}_{0}+{Q}_{a}+{Q}_{b}=0\) porque el campo adentro del conductor vale 0. Después hice Gauss en todo el espacio y obtuve \(\vec{E}\) separado en cuatro regiones,
\(\vec{E}=0\) en (r > b) por la condición que había sacado anteriormente, que la suma de las 3 cargas en total daba 0, y en (0 < r < a) porque no hay cargas adentro del conductor, \(\vec{E}=\frac{{\sigma}_{a}{a}^{2}+{\sigma}_{c}{c}^{2}}{{\varepsilon}_{0}{r}^{2}}\) en (c < r < b) y \(\vec{E}=\frac{{\sigma}_{a}{a}^{2}}{{\varepsilon}_{0}{r}^{2}}\) en (a < r < c). Si eso es cierto, entonces integro y obtengo el potencial:
\(V(r)={C}_{1}\) en (r > b), \(V(r)=\frac{-({\sigma}_{a}{a}^{2}+{\sigma}_{c}{c}^{2})}{{\varepsilon}_{0}r}+{C}_{2}\) en (c < r < b), \(\vec{E}=\frac{-{\sigma}_{a}{a}^{2}}{{\varepsilon}_{0}r}+{C}_{3}\) en (a < r < c) y \({C}_{4}\) en (0 < r < a).
Este es mi problema: Si yo pido de entrada que \(V(b)={V}_{2}\), la constante en la primer región me queda \({C}_{1}={V}_{2}\), pero la región 1 va de b hasta +infinito, y yo debería tener que \(V(\infty)=0\), pero entonces debería ser que \({C}_{1}=0\), y eso sólo pasaría en el caso en que \({V}_{2}=0\) pero me habían dicho que ese era un valor predeterminado (no necesariamente cero, y yo no lo puedo definir). Si yo decido definir de cualquier manera a \(V(b)={V}_{2}\) y luego \(V(r)=0\) para r > b (mayor estricto), entonces el potencial me queda discontinuo, lo cual se supone que no debería pasar.
Por otro lado, si yo elijo definir las constantes de mi potencial como de costumbre, y luego ver qué pasa con \({V}_{1}\) y \({V}_{2}\), llego a que \(V(r)=0\) para (r > b) y \(V(r)=\frac{-({\sigma}_{a}{a}^{2}+{\sigma}_{c}{c}^{2})}{{\varepsilon}_{0}r}+\frac{({\sigma}_{a}{a}^{2}+{\sigma}_{c}{c}^{2})}{{\varepsilon}_{0}b}\) en (c < r < b). En ambos casos al evaluarlo en r = b, obtengo que \(V(b)=0\) y vuelvo al mismo problema de antes.
No veo en dónde está el error.. tal vez hay que considerar de cualquier manera dos distribuciones de cargas en la cáscara más grande (de radio b), una interna y una externa pero ambas ubicadas en el mismo lugar.
intenté seguir las cuentas que habías hecho pero me perdíi un poco por no tener los pasos intermedios.. te digo otras dos formas de encararlo a ver si te ayuda. Yo lo que hice fue sacar por Gauss el campo genérico para una esfera hueca genérica de radio R genérico :p y después integrarlo para calcular el potencial V generado por una cáscara esférica.. me parece más cómodo porque uno no arrastra tantas constantes, después dividí el esapcio en sus respectivas regiones, y dependinedo de si estaba adentro o afuera de cada esfera, puse el potencial correspondiente. La otra forma de hacerlo sería como hacés vos, pero nuevamente sin las constantes. A mi me praece confuso, al menos. Lo que yo hago cuando tengo que calcular el potencial en base al campo, es decir:
O sea, en vez de poner las constantes, planteo el potencial directamente, y adentro uso el potencial de afuera, porque para venir de infinito a adentro tengo que pasar por afuera. Como el campo adentro me da 0, el potencial adentro me queda el mismo que afuera pero evaluado en r=R.
A mi al menos me parece más sencillo plantearlo así... de hecho, hacer las dos cosas que te digo: calcular el potencial una sóla vez por este método (lo que yo puse ahí era el potencial para una cáscara esférica cualquiera de radio R) y después aplicarlo a cada esferita. Si te fijás, así lo hacía María Silvia en clase (tampoco es que soy una gran innovadora)
bueno, espero que sirva aunque no te haya podido decir qué problema había en lo que vos hacías. suerte con esto!
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Ah, esperá.. ya entendí. Es lo de definir regiones y usar el principio de superposición. Sí funciona, pero se supone que tiene que quedar lo mismo. Capaz que escribí mal el campo (a mí no me queda ese 3 abajo), pero de cualquier manera el problema con los potenciales fijos sigue estando, creo.
Tal vez estuvo mal lo que yo hice de asumir que podía hacer Gauss en el conductor más grande para llegar a la conclusión de que la carga total de todo era cero..
Donde I es la región entre 0 y a, II entre a y c, III entre c y b, y IV afuera de todo.
El potencial queda contínuo, y cumple que adentro del conductor es constante.
Tiene sentido lo que hiciste del Gauss, pero no sé, yo no lo hice. Me suena que te sobran datos con ese dato extra. Quiero decir, ese gauss es cierto, pero eso no significa que el campo afuera sea 0, porque vas a tener una distribución superficial de cargas en la cara externa del último conductor, que va a valer \(-{\sigma}_{2}\), y que va a generar un campo afuera..
no sé, la verdad que yo lo resolví sin tener eso en cuenta
El enunciado de este problema no es muy claro, uno puede pensar que el conductor 2 es una cáscara esférica con una sola distribución de cargas o también se puede pensar que tiene un espesor (entonces puedo usar Gauss como lo usa Julie) pero ahora voy a tener un distribución de cargas interna y otra externa.
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Lo que dice Belén está bien, o tomo además una carga superficial externa (que me genera un campo), o no hago Gauss. Al final lo rehice el ejercicio, le saqué eso de Gauss que fue medio cualquiera y salió bien. Voy a dejar de insistir con hacer Gauss en todos lados porque voy a tener problemas.