Estuve haciendo este ejercicio y tengo serias dudas sobre lo que hice. Si alguien me puede decir si está bien, se lo agradezco.
Enunciado:
Un aro circular de radio R tiene densidad lineal de carga en coordenadas cilíndricas \(\lambda(\varphi)={\lambda}_{0}(1+cos(2\varphi))\). Se pide:
(a) Verifique usando razonamientos de simetría o por cálculo directo, que el campo eléctrico sobre el eje z está sobre el eje z (no hay componentes en la dirección x, y).
(b) Calcule el campo eléctrico sobre el eje z.
(c) Calcule los momentos monopolar y dipolar del aro, y exprese el potencial eléctrico a grandes distancias.
(d) Este punto me parece cualquier cosa, dice "Una partícula cargada de carga -Q<0 puede moverse libremente a lo largo del eje z. Muestre que su movimiento es armónico simple si el apartamiento del punto de equilibrio es pequeño en relación a R. Calcule el período de oscilación." (No lo hice porque me pareció al cuete)
Lo que hice:
En primer lugar planteé la integral del campo porque no sabía cómo ver eso por simetría así que decidí hacerlo todo de una.
Para integrar reemplacé \(\lambda(\varphi)={\lambda}_{0}(1+cos(2\varphi))\),
\(d\vec{r'}=d\ell'=Rd\varphi'\),
\(\vec{r}=z\hat{z}\),
$$\vec{r'}=R\hat{r}'$$
y \(\hat{r}'=cos\varphi'\hat{x}+sen\varphi'\hat{y}\)
Bueno, hice la integral (todo lo que estaba multiplicando algún seno o coseno se muere) y me queda \(\vec{E}=\frac{k {\lambda}_{0}R2\pi z}{{\vert{z}^{2}+{R}^{2}\vert}^{3}}\hat{z}\)
Acá empiezan mis dudas: el punto (c) pide el momento monopolar y el momento dipolar. Yo calculé esto:
\(\vec{p}=\int{d\ell'\lambda(\varphi')\vec{r'}}={R}^{2}{\lambda}_{0}\int_{0}^{2\pi}(1+cos(2\varphi'))(cos\varphi'\hat{x}+sen\varphi'\hat{y})d\varphi'=0\) (porque todo está multiplicando algún seno o coseno).
¿Están bien esas cuentas? En ese caso, el potencial a grandes distancias me quedaría \(V(r)=\frac{R{\lambda}_{0}}{2{\varepsilon}_{0}r}\)
El problema esta bien planteado. Si lo que te preocupa es que el dipolo te de cero, la integral esta bien planteada y creo que bien resuelta, no tenés nada de que preocuparte entonces.
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
creo que tiene sentido que el dipolo de 0 por el mismo argumento de simetría que se puede usar al principio. Como \(\lambda(\phi)={\lambda}_{0}(1+cos(2\phi))\), podés ver que pasan dos cosas:
primero, que la carga del aro es siempre positiva (ahí ya habría un indicio de pensar que podría no haber dipolo, supongo), y segundo y más importante, que como \(\lambda\) va como \(cos(2\phi)\), el período es justo \(\pi\), es decir, que mirando un punto cualquiera de la configuración desde el eje z, va a tener un diferencial de carga dq, pero justo atrás vas a tener otro diferencial de carga dq exactamente igual (ese es el argumento de simetría para el campo). Ahora, como vos el dipolo lo estás calculando desde el origen (porque al usar esa fórmula usas la distancia de cada dq al origen que es ese \(\vec{r}\)), entonces todas las contribuciones se cancelan a lo largo de toda la circunferencia, y por eso no tenés momento dipolar.
Espero haber ayudado y que no haya sido muy rebuscada mi interpretación, pero a mi al menos me sirve buscar la manera de creerme lo que me dicen las cuentas.
besos
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")