Este problema es casi idéntico al que dieron hoy en clase, pero la profesora dejó sin resolver la segunda parte (cuando agrega el medio lineal) y yo soy medio boluda y no puedo hacerlo.
Enunciado: Un sistema está constituido por un cilindro infinito de radio a y un casquete cilíndrico infinito concéntrico al primerio, de radio interno a y externo 2a. El cilindro interno se encuentra cargado en volumen con densidad de carga \(\rho = {\rho}_{0}\frac{r}{a}\). El casquete externo está compuesto de un material que presenta una polarización permanente \(\vec{P}={P}_{0}\frac{a}{r}\hat{r}\).
(a) Calcule \(\vec{E}\), \(\vec{D}\) y \(\vec{P}\) en todo el espacio.
(b) Suponga ahora que se agrega un tercer cilindro concéntrico infinito, con radio interno 2a y radio externo 4a. El mismo esá formado por un material dieléctrico lineal, isótropo y homogéneo, de permitividad \(\varepsilon\). Calcule el campo eléctrico en todo el espacio.
Esto es lo que hice:
Para la parte (a) busqué las densidades de polarización y obtuve que \({\rho}_{pol}=0\) (me pareció raro pero bueh), \({\sigma}_{p. ext}=\frac{{P}_{0}}{2}\) y \({\sigma}_{p. int}=-{P}_{0}\). Con esto planteé el problema electrostático equivalente, que sería tener en el centro el ro de antes, en ese borde (r=a) el sigma interno y en r=2a el sigma externo. Con eso planteé Gauss y conseguí el campo, que me dio:
\(\vec{E}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r{\varepsilon}_{0}}\hat{r}\) en (r > 2a), \(\vec{E}=( \frac{{\sigma}_{p.i}{a}}{r{\varepsilon}_{0}}+ \frac{\rho{a}^{2}}{2r{\varepsilon}_{0}})\hat{r}\) en (a < r < 2a) y por último \(\vec{E}=\frac{\rho{r}}{2{\varepsilon}_{0}}\hat{r}\) en (0 < r < a).
De ahí usando que \(\vec{D}={\varepsilon}_{0}\vec{E}+\vec{P}\) obtuve \(\vec{D}\):
\(\vec{D}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r}\hat{r}\) en (r > 2a), \(\vec{D}=( \frac{{\sigma}_{p.i}{a}}{r}+ \frac{\rho{a}^{2}}{2r}+\frac{{P}_{0}a}{r})\hat{r}\) en (a < r < 2a) y \(\vec{D}=\frac{\rho{r}}{2}\hat{r}\) en (0 < r < a).
Bueno resulta que \({\sigma}_{p.i}=-{P}_{0}\) y reemplazando eso, en la región del electrete me queda \(\vec{D}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r}\hat{r}\) en (a < r < 2a).
Hasta acá todo lindo (creo). El problema empieza en la parte (b). Me agregan un medio dieléctrico lineal en la parte externa, entre r=2a y r=4a. No tengo muy en claro qué cosas del punto anterior me sirven y qué cosas no. Por ejemplo, a \(\vec{P}\) le falta la parte de la polarización del dieléctrico nuevo. Pero eso probablemente me cambia \(\vec{E}\) y \(\vec{D}\) también. Lo que yo pensé fue.. primero, uso Gauss para medios dieléctricos y obtengo \(\vec{P}\) del medio lineal. PREGUNTA: ¿este Gauss sólo vale en la región del dieléctrico? ¿O ni siquiera ahí?.
Haciendo Gauss obtengo \(\vec{D}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r}\hat{r}\) entre 2a y 4a. De ahí saco que \(\vec{E}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r\varepsilon}\hat{r}\) en (2a < r < 4a). Y por lo tanto, \(\vec{P}_{diel.}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r}(1-\frac{{\varepsilon}_{0}}{\varepsilon})\hat{r}\) en (2a < r < 4a) y vale 0 fuera del dieléctrico.
Ahora puedo escribir un \(\vec{P}\) total que sería \(\vec{P}_{T}=\vec{P}_{perm.}+\vec{P}_{diel.}\), y vale \(\vec{P}_{T}={P}_{0}\frac{a}{r}\hat{r}\) en (a < r < 2a) y \(\vec{P}_{T}=\frac{\rho{a}^{2}}{2r}(1-\frac{{\varepsilon}_{0}}{\varepsilon})\hat{r}\) en (2a < r < 4a), y 0 en cualquier otra región.
Bueno, hasta ahí llegué. Mi idea de cómo seguir no está muy clara.. creo que puedo deducir que \(\vec{D}\) sigue siendo igual que antes (porque en la región del dieléctrico me dio lo mismo que daba antes cuando no estaba) y tal vez con eso y con \(\vec{P}\) despejar \(\vec{E}\), pero no estoy 100% segura y además no sé si eso vale en cualquier caso. Por ej, qué pasa si en la región del dieléctrico me quedaba algo distinto de lo que tenía antes? O tal vez eso no puede pasar, porque el \(\vec{D}\) anterior en esa región era lo mismo que sin el electrete, que es lo que considero cuando hago Gauss para medios dieléctricos. En fin, me escribí todo un choclo y perdí como una hora de estudio por aprender a usar LaTeX, así que si alguien se copa y me responde, me vendría bien. Gracias de antemano.
Julie.
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