Necesito esclarecer un poco algunas cosas de dinamica de una particula, este ejercicio me parecio bastante completo porque mezcla mov. traslacional y rotacional ademas de que hay poleas moviles y un plano inclinado, bueno seguro le falta algo pero me ayudaria mucho ver como quedan las ec. de newton y los vinculos para entender como se hacen los incisos b) y c). Gracias a quien lo resuelva o al menos ponga como queda las ec. de newton y los vinculos.
12 - Un juego de un parque de diversiones consiste en un carro de masa m1 que se desplaza
sobre un riel semicircular de radio R, carente de rozamiento. El carro es arrastrado
mediante una soga que se desliza a lo largo del riel y que está enganchada a un sistema
de poleas del cual cuelga un contrapeso de masa m2 . Este contrapeso se mueve sobre un
plano inclinado, sin fricción, que forma un ángulo \({\alpha}\) con la horizontal. Considere que
las sogas son inextensibles, y que sogas y poleas tienen masas despreciables. (Ver figura adjunta)
a) Escriba las ecuaciones de Newton y de vínculo para ambas masas.
b) Diga para qué valor de \({\phi}\) el carro podrá permanecer en reposo.
c) Encuentre la velocidad del carro como función de \({\phi}\).
Es un lindo problema este. Lo que más puede complicar son las condiciones de vínculo.
Ecuaciones de Newton:
Fijate que tenés que plantear dos sistemas de referencia, uno en polares para el carrito con el origen en el centro del semicíruclo y otro cartesiano normal para el contrapeso, con el origen en donde está atada la soga (x positivo va bajando la pendiente).
Para el contrapeso (fijate que las únicas fuerzas son el peso y la tensión):
Condicines de contorno:
Hay dos cosas que tenés que ver, la relación entre T y T' y la ecuación que te sale de que la soga sea inextensible.
Para T y T':
La polea móvil tiene masa cero, por lo tanto la fuerza sobre ella es cero (F=ma), y las fuerzas que actúan sobre ella son 2T' (cuando la soga pasa por una polea no se altera la tensión, pregunta cualquier cosa) y T, por lo tanto \(\frac{T}{2}=T'\)
Para la soga:
Digamos que tiene una longitud L, y que la distancia entre la polea fija y donde está atada la soga es d
\(L=d+2x+(\frac{\pi}{2}-R\frac{d^2 \phi}{dt^2})\) (x es la posición de la polea móvil, la otra cosa viene por el arco)
Derivando dos veces llegas a la relación \(R\frac{d^2 \phi}{dt^2}=\frac{d^2 x}{dt^2}\) (las constantes se van)
Con esto podés hacer b) y c) preguntá cualquier cosa
EDIT: Arreglé algunos signos y le puse a cada ecuacion de Newton su aceleración correspondiente.
Firma
When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
No me queda claro ¿por que en las ec. de Newton pusiste que sobre \(\hat{r} : {m}_{1}gcos(\phi)-N=0\) , no deberia quedar \({m}_{1}gcos(\phi)-N=- {m}_{1}R(\frac{d \phi}{dt}})^2\) ? entiendo que esto debe ser siempre así en un mov. circular aunque no se mueva sobre el eje ¿o me equivoco? Por otro lado en las condiciones de vinculo no entiendo de donde viene \((\frac{\pi}{2}-R\frac{d^2 \phi}{dt^2})\) ¿como por el arco? depaso ya te pregunto ¿para que quiero la longitud de la soga? 😆 no lo veo, avivame un poco. Gracias de nuevo.
Tenés razón sobre la aceleración en r versor (en mi post ya lo corregí), si no hubiese una fuerza en r no habría movimiento circular!!, igual esa ecuación no la usás para resolver el problema.
Sobre la condición de vínculo con la soga, no necesitas la longitud de la soga, pero necesitas la relación entre la aceleración en \(\phi\) y la aceleración en \(x\) en los dos sistemas de referencia para poder resolver el problema (usando esto, la relación entre T y T' y la linealidad del seno en las pequeñas oscilaciones deberías poder resolver el problema)
\(R\frac{d^2 \phi}{dt^2}\) te da cuanto se aleja el carrito del "0\(\phi\)" (la longitud del arco recorrido). Al hacer \((\frac{\pi}{2}-R\frac{d^2 \phi}{dt^2})\) te da la longitud de la soga en el semicirculo (que va variando, porque el carrito se va moviendo y la soga esta siempre tensa).
en realidad lo que importa no es si la soga mide 1m o 2cm, lo importante y lo que usas es que es constante, entonces si derivas la longitud con respecto al tiempo eso te da 0, y siempre pasa eso porque lo que te importa son aceleraciones.
en realidad hay dos sogas, dos condiciones de vinculo que tenes que considerar, para la soga que une \(m_{1}\) con la polea movil la longitud es:
$$R.(\frac{\pi}{2}-\phi)+x_{p}+(x_{p}-d)=L_{1}$$
donde \(x_{p}\) es la posicion de la polea movil respecto a la fija y \(d\) es la distancia entre la polea fija y el punto donde se agarra la soga y ahi si derivas ambos miembros dos veces como \(L\) y \(d\) no depende de t, sus derivadas son nulas y te queda
Viendo la longitud de la soga que une la polea movil con el cuerpo \(m_{2}\) te queda que la longitud es:
$$x_{2}-x_{p}=L_{2}$$
\(x_{2}\) es la distancia entre la polea fija y \(m_{2}\). derivando dos veces de nuevo te queda que la aceleración de la polea movil es igual a la de la masa \(m_{2}\), entonces usando el vinculo de la otra soga te queda que
y este es el vinculo que metes en las ec de newton, igual esto seria para un sistema de referencia para \(m_{2}\) en el que x aumenta hacia abajo, en la resolucion del post anterior esta al revez pero buen, te cambia un signo en la aceleracion, fijate
Gracias a los dos, ahora ya me quedó claro. Fijate Pato que creo que cuando editaste el post para corregir la ec. de Newton en \(\hat{r}\) del carrito reemplazaste la expreción sobre \(\hat{y}\) del soporte. Me parece por como te queda \(\hat{x}\) para el soporte, que tomaste x positivo subiendo la pendiente por eso el signo cambiado de la aceleracion en el post de Joaquín. Saludos.
Gracias por hacerme ver eso, al haber editado rápido no me di cuenta.
Sobre el eje x, el positivo va para abajo, ahora corregí la condición de vínculo también, le había puesto el menos ese adelante sin querer.