Creo que lo resolvieron en clase este cuatrimestre pero no estuve presente.
Entiendo que el radio no es constante y que por lo tanto debe haber un componente radial de la velocidad. Las dudas son: ¿Como debo entender el radio R para luego al derivarlo hallar V(t)? y ¿Qué representa x en la figura, lo mismo que el vector PL? .
Acá dejo el enunciado del ejercicio:
11 - Un faro que gira con velocidad angular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla ubicada a una distancia d = OP (ver fig.).
a) Halle la velocidad lineal del punto luminoso sobre la pantalla en función de datos y de
x.
b) Calcule en función de datos y de x la velocidad angular del punto luminoso para un
observador situado a una distancia D = AP de la pantalla. (Sugerencia: haga este
cálculo usando trigonometría).
c) ¿Cómo debería ser la velocidad angular del faro para que el punto luminoso se mueva
con velocidad constante?
aca va la resolucion, el movimiento del punto es unidimensional, todo pasa en el plano del dibujo y \(x\) es esa distancia que pusiste y es lo que tenes que derivara para encontrar la velocidad
a) Si llamas \(d\) a la distancia \(OP\) entonces \(x\) viene dado por \(x(t)=d.tg(\phi(t))\) (triangulo \(\triangle_{OPL}\)). despues derivas ambos miembros, el derecho usando la regla de la cadena, con respecto a \(t\) y llegas a \({\dot_{x}}=\frac{d}{cos^2(\phi)}.{\dot_{\phi}}\). usando la identidad \(1+tg^2(\phi)=\frac{1}{cos^2(\phi)}\) y el dato que\({\dot_{\phi}}=\omega\) es constante y la relacion entre \(x\) y \(\phi\) llegas a la expresion
$${\dot_{x}}=\omega.d.(1+\frac{x^2}{d^2})$$
b) si llamas \(r\) a la distancia \(AP\) y \(\theta\) al angulo entre \(AL\) y \(AP\) entonces \(d.tg(\phi(t))=x=r.tg(\theta(t))\) (triangulo \(\triangle_{OPL}\) y \(\triangle_{APL}\)) derivando la igualdad con rspecto a t llegas a:
\(\frac{d}{cos^2(\phi)}.{\dot_{\phi}}=\frac{r}{cos^2(\theta)}.{\dot_{\theta}}\) y usando la identidad trigonometrica de antes, y las relaciones trigonometricas entre \(x\) \(\phi\) y \({\theta}\) y despejando \(\dot_\theta\) de la ecuacion llegas a:
c) usando la ecuacion de la parte a) \({\dot_{x}}=\frac{d}{cos^2(\phi)}.{\dot_{\phi}}\) para que el miembro izquierdo sea constante, el miembro derecho no tiene que depender del tiempo, y eso pasa solo si \(\frac{\dot_{\phi}}{cos^2(\phi)}.\) es constante y ademas igual a \(\frac{\dot_x}{d}\), entonces despejando llegas a que para que \(\dot_x\)sea constante se tiene que cumplir:
$${\dot_{\phi}}=\frac{\dot_x}{d}.cos^2(\phi)$$
donde \(\dot_x\) es constante, es un numero que no depende del tiempo
asi que \(sec^2(x) = (1/(cos(x)))^2 = 1+tan^2(x)\) mira vos jaja, algun dia me voy a aprender esas identidades trigonometricas, espero que rapido porque siempre traban 🙁 , me vino barbaro tu respuesta, gracias!
parece que sale de la nada pero fijate que si agarras la identidad \(sen^2(\phi)+cos^2(\phi)=1\) y dividis ambos miembros por \(cos^2(\phi)\) te queda la identidad esa.