La duda es: Utilizando un sistema de referncia con los ejes (x,y) en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente tal como recomienda el enunciado. ¿Para hallar la componente de \($ {V}_{0} $\) sobre el el eje \($ x $\) hay que considerar el angulo \({ \theta - \alpha }\) y para el eje \($ y $\) el angulo \({ \theta }\) solo? ¿o hay que referirse siempre al mismo angulo? ¿a cual?. Haciendo lo primero me queda asi:
$$\huge { L = \frac{ 2{V}^{2}_{0}}{ g } $ $ {\cos (\theta - \alpha) \sin \theta }$$
y no consigo dejarlo de la forma que pide, les agradesco cualquier dato sobre como debo interpretar el angulo, saludos!
Acá copio el ejercicio:
7 - Un jugador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad
inicial v0 y ángulo de elevación θ. La tribuna forma un ángulo α con la horizontal (ver
fig.). Se aconseja utilizar un sistema de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones
horizontal y vertical, respectivamente.
Ver fig. en ADJUNTOS.
a) Muestre que la expresión del alcance L en función del ángulo θ está dada por:
$$\large { L = \frac{ 2{V}^{2}_{0}}{ g {\cos}^{2} \alpha} $ $ {\sin (\theta - \alpha) \cos \theta }$$
b) Grafique el alcance L en función de θ y demuestre que para cada valor de L hay dos
valores posibles de θ (tiro rasante y tiro de elevación).
c) ¿Cuál es el ángulo θ para el cual el alcance es máximo?
Yo como lo pensé en su momento(osea me estoy fijando en los apuntes quizas sea cualquier ganzada pero quizas te sirva),
Como \(\alpha \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) esto me asegura que la trayectoria que es una parabola me intersecta las gradas
Entonces sea \(L\) el alcance.
primero busco el punto donde tiene que caer la pelota y ese punto es por pitagoras:
$$(x_1;y_1)=(L.cos(\alpha);L.sen(\alpha))$$
Ahora me olvido de las gradas y me fijo cuando la pelota intersecta en ese punto:
Considero los ejes x e y el eje horizontal y el vertical:
Entonces
$$X(t)=X_0+V_0 .cos(\theta).\Delta t$$
$$Y(t)=Y_0+V_0 .sen(\theta).\Delta t - \frac{g}{2}.{(\Delta t)}^{2}$$
Donde \(\Delta t=t-t_0=t-0=t\) por que considero \(t_0=0\)
Por que en X no hay fuerzas entonces se mueve con MRU y considero \(X(0)=0\) y \(V_x(0)=V_0.cos(\theta)\)
Por que en Y está la fuerza de gravedad y esta es constante y considero \(Y(0)=0\) y \(V_y(0)=V_0.sen(\theta)\)
Pero yo estoy buscando \((X(t_1);Y(t_1))=(L.cos(\alpha);L.sen(\alpha))\)
Donde: \(X(t_1)=V_0 .cos(\theta).t_1=L.cos(\alpha)\) (A)
\(Y(t_1)=V_0 .sen(\theta).t_1 - \frac{g}{2}.{t_1}^{2}=L.sen(\alpha)\) (B)
De (A) sale que: \(t_1=\frac{L.cos(\alpha)}{V_0 .cos(\theta)}\)
y reemplazo en (B):