Segundo Parcial - Probabilidad y Estadística 14/03/09
1. (25 puntos) El tiempo en segundos que tarda una impresora en completar un trabajo es una variable aleatoria con media igual a \(6,1\) segundos y varianza igual a \(\sigma^{2}\) .
(a) Si \(\sigma^{2}\) es igual a \(1,44\) segundos\(^{2}\) , calcular en forma aproximada la probabilidad de que la impresora complete \(100\) trabajos enviados en forma independiente en un tiempo total mayor o igual a \(10\) minutos.
(b) Bajo que hipótesis puede garantizar que el valor obtenido en el item a) coincide en forma exacta con la probabilidad de que la impresora complete \(100\) trabajos enviados en forma independiente en un tiempo total mayor o igual a \(10\) minutos.
(c) Se desea que, con probabilidad aproximada \(0,99\) la impresora esté ocupada a lo sumo \(12\) minutos cuando se le envían \(100\) trabajos. ¿Cuánto debería ser \(\sigma\) para que esto suceda?
2. (25 puntos) Sea \(X_{1}, ..., X_{n}\) una muestra aleatoria de una distribución con densidad \(f_{X}(x) = \frac{3\cdot \theta^{3}}{x^{4}} \cdot I_{(\theta , +\infty)}(x)\) , \((\theta > 0)\)
(a) Hallar un estimador por el método de los momentos de \(\theta\) , decidir si es insesgado y consistente. Justificar.
(b) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de \(\theta\) , decidir si es insesgado y consistente. Justificar.
3. (25 puntos) Sea \(X_{1}, ..., X_{n}\) una muestra aleatoria de una distribución con densidad \(f_{X}(x) = \frac{3\cdot \theta^{3}}{x^{4}} \cdot I_{(\theta , +\infty)}(x)\) , \((\theta > 0)\)
(a) Hallar la densidad de \(U_{i}= ln\left(\frac{X_{i}}{\theta}\right)\) , a qué familia pertenece?
(b) Hallar la distribución de \(\sum_{i=1}^{n} U_{i}\)
(c) Hallar una familia de intervalos de confianza para \(\theta\) de nivel \(1-\alpha\) basado en \(X_{1}, ..., X_{n}\) .
4. (25 puntos) Denotemos por \(p\) la proporción de votantes de una ciudad que están a favor de un determinado intendente. Se desea testear \(H_{0}\; : \; p = 0,5\) vs \(H_{1}\; : \; p > 0,5\) , en base a una muestra aleatoria de \(49\) votantes. Consideremos \(X_{i}\) tomando el valor \(1\) si el \(i\)-ésimo votante está a favor del candidato y \(0\) en caso contrario. Considere las siguientes regiones de rechazo: