1er Parcial, Curso de Verano 2009

Primer Parcial - Probabilidad y Estadística 21/02/09

1. (25 puntos) En un hospital de cierta ciudad llegan parturientas según un proceso de Poisson con una intensidad media de \(\frac{1}{12}\) partos por hora.
(a) Sabiendo que en cierto día se supera la cantidad esperada de partos para ese período, ¿Cuál es la probabilidad de que en ese mismo día se realicen exactamente \(6\) partos?
(b) ¿Cuánto debe durar la guardia de un obstetra para que la probabilidad de no atender partos sea menos a \(0,2\)?
(c) Un médico se acuesta a dormir una siesta al terminar de atender un parto. ¿Qué probabilidad tiene de dormir por lo menos \(2\) horas antes de ser despertado para atender un nuevo parto?

2. (25 puntos) Considere un vector aleatorio \(( X , Y)\) con función de densidad conjunta

(a) Determine la función de densidad marginal de \(X\) . A qué familia pertenece? (b) Calcule \(Cov(X,Y)\). ¿Son \(X\) e \(Y\) independientes? (c) Calcule \(P(Y \leq \frac{1}{2} | X \leq \frac{1}{2})\) (d) Calcule \(P(Y \leq \frac{1}{2} | X = \frac{1}{2})\) *Sugerencia: dibuje en el plano los valores para los cuales la densidad conjunta es diferente de \(0\)*.

3. Un pintor necesita dos latas de pintura blanca para pintar una habitación. En un estante tiene \(4\) latas, de las cuales \(2\) son blancas, \(1\) amarillas y \(1\) gris. Como perdió el folleto con los códigos que identifican los colores de cada lata, solo puede reconocer el color de esta una vez que la abre. Supongamos que elige las latas al azar. Denote por \(X\) el número de latas amarillas abiertas y por \(Y\) el número total de latas que abre para poder pintar la habitación. (Notar que para poder pintar la habitación necesita abrir las dos latas de pintura blanca).
(a) (10 puntos) Confeccione la tabla correspondiente a la función de probabilidad conjunta de \((X,Y)\).
(b) (5 puntos) ¿Son \(X\) e \(Y\) independientes?. Calcule \(Cov(X,Y)\).

4. (35 puntos) Dos máquinas producen piezas de un mismo tipo en grandes cantidades, cuyos diámetros (en mm), tienen distribución normal con igual valor esperado \(\mu\) para todas las máquinas y varianza igual a \(2\) y \(5\) para las máquinas \(1\) y \(2\) respectivamente. Si el diámetro de una pieza difiere de su valor esperado en por lo menos \(2\) mm, la pieza está fuera de los límites de especificación. Además, se sabe que la máquina \(1\) produce la mitad del número de piezas que la máquina \(2\).
(a) Calcule la probabilidad de que una pieza esté fuera de los límites de especificación cuando es producida por la máquina \(2\).
(b) Si una pieza seleccionada aleatoriamente está fuera de los límites de especificación, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producidad por la máquina \(2\)?
(c) Calcula la probabilidad de que sea necesario seleccionar más de \(3\) piezas para encontrar la primera pieza fuera de los límites de especificación.
(d) El dueño de la fábrica quiere actualizar el equipamiento, para esto busca comprar una única máquina para producir todas las piezas. La nueva máquina produce piezas con diámetros normalmente distribuidos centrados en \(\mu\) pero con varianza \({\sigma}^{2}\). ¿Cuán chico debe ser \({\sigma}^{2}\) para que al menos el \(95 %\) de las piezas producidas por la nueva máquina estén dentro de los límites de especificación?
(e) (15 de los 35 puntos) Consideremos en adelante \(\mu = 3\) y denotemos por \(X\) al diámetro de una pieza elegida al azar. Hallar \(f_{X} (x)\) la función de densidad de \(X\), \(V(X)\) la varianza de \(X\) , y \(M_{X} (t)\) la función generadora de momentos de \(X\) .

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Dejo los primeros \(2\)

1.
(a)
\(X_{24}=\)"cantidad de partos por día"
\(X_{24} \sim \mathcal{P}(2) \Longrightarrow E(X)=2\) .

\(= \frac{\frac{e^{-2} \cdot 2^{6}}{6!}}{1-\left( P_{X_{24}}(2) + P_{X_{24}}(1) + P_{X_{24}}(0) \right)} = \frac{\frac{e^{-2} \cdot 2^{6}}{6!}}{1- \frac{e^{-2} \cdot 2^{2}}{2!} - \frac{e^{-2} \cdot 2^{1}}{1!} - \frac{e^{-2} \cdot 2^{0}}{0!}}\) *(b)* \(X_{t}=\)"cantidad de partos en \(t\) horas" \(P(X_{t} = 0) < 0,2 \Longrightarrow \frac{e^{\frac{-t}{12}} \cdot \left({\frac{\pi}{12}}\right)^{0}}{0!} < 0,2 \Longrightarrow e^{\frac{-t}{12}} < 0,2 \Longrightarrow\)\(\frac{-t}{12} < ln(0,2) \Longrightarrow t < -12\cdot ln(0,2)\) *(c)* \(X_{2}=\)"cantidad de partos en \(2\) horas" \(P(X_{2}=0) = \frac{e^{\frac{-1}{6}} \cdot {\frac{1}{6}}^{0}}{0!} = e^{\frac{-1}{6}}\)

2.
(a)
\(f_{X} = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) dy \Longrightarrow f_{X} = I_{\{0\leq x \leq 1\}} \cdot \int_{0}^{1} 2(x+y-3xy^{2}) dy =\)\(I_{\{0\leq x \leq 1\}}\)
Entonces \(X \sim U[0,1]\)
(b)
\(cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)\)

\(E(X)= \frac{1}{2}\) ( pues \(X \sim U[0,1]\) ) Entonces \(Cov(X,Y)=E(X,Y) - E(X)\cdot E(Y) = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} = \frac{-1}{24}\) Como \(Cov(X,Y) \not= 0 \Longrightarrow X\) e \(Y\) no son independientes. *(c)* \(P(Y\leq \frac{1}{2} | X \leq \frac{1}{2}) = \frac{P(Y\leq \frac{1}{2} , X \leq \frac{1}{2})}{P(X\leq \frac{1}{2})} =\)\(\frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2(x+y-3xy^{2}) dxdy}{\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\; dx} = \frac{7}{16}\) *(d)* \(P(Y\leq \frac{1}{2} | X=\frac{1}{2}) = \frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}} f_{XY} (\frac{1}{2},y) dy }{f_{X}(\frac{1}{2})} =\frac{\int_{0}^{\frac{1}{2}} 2(\frac{1}{2} + y - \frac{3}{2} y^{2}) dy }{1} = \frac{5}{8}\)

Están algo resumidos, pero creo que están bien, avisen cualquier cosa.

Ojala les haya ido bien a todos!
Gracias Agustin por contribuir!

me quiero mataaar. errores de cuentas

siiiiiiiiiii los primeros los tenemos iguales....creo..al menos lo q me acuerdo!!..gracias..que buen contribuyente q sos...mereces para el proximo parcial una hora mas de examen...jijijij 😛