Gente, necesito que alguien me diga si está bien hecho este ejercicio.
- Determinar todos los b reales, b>0 tales que la sucesión sea convergente a un límite finito. Para cada uno de estos valores de b calcular el límite.
$$${a}_{n}=(1+\frac {b^n}{n!})^\frac {(n-1)!(n-4))}{9^n}$$
Lo que yo hice:
Primero me fijé a donde tendía \(\frac {b^n}{n!}\), usé D'alembert y me dio que tiende a 0.
Entonces al tener una indeterminación 1^infinito.
Elevé el paréntesis y me quedó así:
$$[(1+\frac {b^n}{n!})^\frac {n!}{b^n}]^\frac {b^n}{n!}\frac {(n-1)!(n+4)}{9^n}]$$
Trabajo el exponente y escribo \(n!\) como \(n(n-1)!\) y se me cancela con el otro \((n-1)!\). Ahora agrupo así: \(\frac {b^n}{9^n}\frac{(n+4)}{n}\)
Me queda \((\frac {b}{9})^n(1+\frac {4}{n})\)
Entonces dije, si 0<b<9 el exponente tiende a cero y me queda \(e^0=1\)
si b=9 el exponente me queda 1 y el límite es \(e^1=e\)
si b>9 la sucesión diverge.
Por los resultados diría que está mal, pero no encuentro error.