#1 Jöns Jacob 2010-06-29 03:23 Estoy intentando hacer este ejercicio:
Sea \(f(x)=3cos(x)+xsen(x)+5x^{2}+x+1\). Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en \(x_0=0\). Escriba la expresión del resto y estime el error que se comete al calcular \(f(0,2)\) por medio del polinomio hallado.
Me quedo así: \(f(0)=4\)
\(f'(x)=-3sen (x)+sen (x)+xcos(x)+10x+1\) --> \(f'(0)=1\)
$$P_2(x)=4+x+\frac {9}{2}x^{2}$$
La tercera derivada me queda:
$$f'''(x)= 3sen(x)-sen (x)-sen (x)-sen (x)-xcos(x)= -xcos(x)$$
Entonces el resto me queda:
$$|R_3(x)|= R_3(0,2)= \frac {|-(c.cos(c))|}{3! 5^{3}}$$
¿Cómo acoto eso? 🙁
#2 KillSchrodingerCat 2010-06-29 13:47
Jöns Jacob escribió:
¿Cómo acoto eso? 🙁
Asumo que:
\(\frac {|-(c\cdot{cos(c))|}}{3! 5^{3}}\leq \frac{c}{3!}\frac{1}{5^{3}}\)
Donde use que:
$$|-c\cdot{cos(c)}|=|-1|\cdot{|c|}\cdot{|cos(c)|}$$
y que:
$$|cos(c)|\leq 1$$
Luego acotás el \(c\) y está creo 😛
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
#3 Jöns Jacob 2010-06-29 23:30 Gracias KillSchrodingerCat 😄, dejo otro:
Gente, ¿me tiran una soga?
Calcular el radio de convergencia de la serie \(\sum_{n=1}^\infty \frac {n^{n} x^{n}}{3^{n} (n+1)!}\)
Usé D'alembert por el factorial y llegué a:
\(\lim_{n \to \infty} \frac {ex}{3} \frac {(n+1)(n+1)!}{((n+1)+1)!}\). ¿Cómo escribo de otra manera esa cosa?
El e salió de \((\frac {n+1}{n})^{n}\)
EDIT: ¿Se puede escribir \(((n+1)+1)!\) como \((n+2)!\)? Entonces me quedaría \((n+2)(n+1)!\) que se cancela y termina quedando \(\frac {n+1}{n+2}\)
que feo ejercicio por dios!
A ver si me sale....
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}x^{n+1}3^{n}(n+1)!}{n^nx^n3^{n+1}(n+2)!}$$
o sea
\(...=(\frac{n+1}{n})^n(n+1)\frac{x}{3(n+1)}\rightarrow\frac{e|x|}{3}\) (me olvidé los módulos al principio) luego te alcanza con que \(|x|<3e^{-1}\) si no me equivoqué en elas cuentas
Suerte
#5 Jöns Jacob 2010-06-30 14:46 Gracias ALE, lo hice bien 😄.
Otro:
\(\sum_{n=1}^\infty n^{p}(\sqrt{n^{3}+5}-\sqrt{n^{3}+1})\) y dice hallar todos los p>0 tales que la serie converge. O.o ¿Cómo empiezo?
#6 Jöns Jacob 2010-07-01 21:38 ¿Nadie? 🙁 . Mi idea era multiplicar y dividir por el conjugado. me queda
\(\sum_{n=1}^\infty \frac {4n^{p}}{\sqrt{n^{3}+5}+\sqrt{n^{3}+1}}\) pero después si uso Cauchy o D'alembert no me sirve para nada :S.
Sorry por haber sido tan molesto, pero por suerte ya está casi cocinada análisis del cbc 😄. Aunque tengo algunas dudas que quedaron colgando 🙁
#7 Quimey 2010-07-02 00:51 criterio de la raiz n-esima...
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Quimey
#8 Jöns Jacob 2010-07-02 01:21 Si uso ese criterio me queda \(\frac {1}{1+1}\) y tiene que ser menor o igual a 1 para que converja. ¿Entonces? ¿Converge para cualquier valor de p?
#9 Quimey 2010-07-02 12:23 uhh, me equivoqué.
#10 Jöns Jacob 2010-07-02 23:15 Gracias Quimey, más tarde intento hacerlo...
