Gente, abro un thread para ir poniendo algunas dudas que me vayan surgiendo y no crear miles de threads al pedo. Estaba haciendo un ejercicio de Polinomio de Taylor que dice:
Sea \(f(x)=xln(x)\). Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 en \(x=1\). Estimar el error que se comete al calcularlo:
a)\(f(1,2)\) por \(P(1,2)\) (supongo que debe ser \(\frac {12}{10}\))
b)\(f(0,8)\) por \(P(0,8)\) (\(\frac {8}{10}\))
Escribir la expresión del resto en cada caso.
Hice todas las derivadas y armé el polinomio que me quedó:
Primero fijate que la expresión del resto está mal; en vez del \(+\) del denominador, es un \(.\)
$$R(x)=\frac{2 {(x-1)}^4}{c^{3} . 4!}$$
Estimar el error es encontrar una cota superior para el módulo del resto. (Módulo del Resto = Error). Entonces lo que tenés que hacer es acotar el módulo del resto, evaluando x en 1,2:
Y ya está; o sea conseguí que el error cometido es menor que \(\frac{1}{7500}\). O sea que si haces f(1,2) que da 0,218785868 y hacés P(1,2) que da 0,218666667, si restás esos valores te queda un error de 0,000119201, que es menor que \(\frac{1}{7500} = 0.00013..\)
Después tenés que hacer más o menos lo mismo para 0,8.
PD: Fijate que cambió la desigualdad al invertir los miembros y en cambio cuando elevé al cubo miembro a miembro, la desigualdad no cambió. No cambió porque \(g(x) = x^3\) es creciente en el intervalo \((\frac{5}{6}, 1)\). Luego si \(\frac{5}{6} < \frac{1}{c} < 1 \Rightarrow g(\frac{5}{6}) < g(\frac{1}{c}) < g(1)\)
Espero que haya servido y cualquier cosa que no se entendió, volvé a preguntar!
Suerte!
Clarísimo Frank, muchas gracias. Hoy me entregaron el parcial, me saqué un 7. Esperaba más nota, me cagó que fueron muy estrictos al corregir. En el de optimización me pusieron R- porque no mostré que era máximo, ese lo acepto, pero en otro ejercicio me pusieron B-- porque puse que la A.V me lo daba el dominio de f(x) y me puso "no, te lo da porque lím x->0+ f(x)=+inf" Un error muy bobo y me descontaron mucho para mi. 2 B, 1 B-- y un R-.
Ahora la duda. El ejercicio dice así:
Dada \(f(x)=ax^2+1+(bx+1)^\frac {4}{3}\). Hallar a,b reales de tal forma que \(P(x)=2+4x+6x^2\) sea el Polinomio de Taylor de orden 2 en \(x=0\)de \(f(x)\). Con los valores de a y b hallados estimar acotando el resto, el error que se comete al aproximar \(f(0,1)\) por \(P(x)\).
\(f''(x)=2a+4(3x+1)^\frac {-2}{3}\) --->\(f''(0)=6\) --> \(2a+4=6\) --> \(a=1\) (acá me hice lio, porque no puse \(2!\). Asíque es probable que esté mal).
Dudas, acá ¿es necesario multiplicar por 8? ¿Tendría que haber escrito \((3c+1)^\frac {-5}{3}\) como \(\frac {1}{(3c+1)^\frac {5}{3}}\)? El R(x) es en realidad es módulo de R(x) ¿eso qué me modifica?
Hasta ahí está perfecto. Lo que tendrías que hacer ahora es resolver las integrales por separado, reemplazar por lo que valía u y v y despejar f(x). Fijate que la de \(e^u\) es \(e^u\) también, y para \(v.e^v\) hacés partes y te queda \(\int v e^v = e^v (v-1).\)
Reemplazando por las expresiones originales despejas f(x):
\(e^{f(x)} = e^{x^2+6} (x^2+5) + k\), y ahora despejas f(x), después encontrás el valor de k y te queda, si no hice mal las cuentas:
Estuve leyendo lo que es partes (integrar por partes) y si no entendí mal es elegir uno como \(f(x)\) y otro como \(g'(x)\). Después queda \(f(x).g(x) - \int f'(x).g(x)\) . ¿está bien así o entendí cualquiera?
Exactamente; siempre se usa con productos de funciones. No sé si te dieron una regla de prioridad para elegir a la f. Algunos, como yo, usan ILPET (Inversas-Logarítmicas-Polinómicas-Exponenciales-Trigonométricas). Esta regla dice que conviene elegir a la f (la que derivás) en ese orden de prioridad. Ej: si tenes la integral de una funcion logarítmica por una función trigonométrica, por ejemplo, conviene tomar a la logarítmica como la f. Este método por lo general anda bastante bien, salvo cuando tenés dos funciones del mismo tipo (ej: trigonométrica y trigonométrica); ahí tenés que probar con una o la otra.. xD
Uh, se pasaron, muchas gracias. Me están salvando la vida, o mejor dicho, la materia. Estuve intentando hacer la practica y me choqué con otro método, además de sustitución e integración por partes. Según la guía se llama fracciones simples.
El ejercicio es \(\int \frac {5}{x^{2}+2x+3}dx\), pero este polinomio no tiene raíces reales, no lo puedo escribir como forma factorizada. Lo que hice fue llevarlo a la forma canónica. Me quedó:
\(5\int \frac {1}{(x+1)^{2}+2}dx\) y ahí me travé 😄
Gracias de nuevo y espero que no les moleste que haga tantas preguntas 🙁. El miércoles recién estaría volviendo a cursar.
Yo sabía que tenía esa derivada de algún lado.. Hice algunos parciales más y vienen saliendo bastante bien, gracias a ustedes 😄. Me están salvando la materia je. Hay un ejercicio que no se ni cómo encararlo, dice así:
Sean \(f(x)\) una función cuyo polinomio de Taylor de orden 2 en \(x=0\) es \(P_{2}(x)= -\frac {2}{3}x^{2}+x+1\). Si \(h(x)=4+f^{3}(x)\) y la tercera derivada de h(x) es \(h^{(3)}(x)=cos (x)+xsen(x)+3\). Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 de \(h(x)\) en \(x=0\). Usar este polinomio para dar un valor aproximado de \(h(0,4)\) y mostrar que el error que se comete en esta aproximación es menor que \(\frac {4}{4.5^{5}}\)
Se me ocurre integrar \(h^{(3)}(x)\) 3 veces, cuando obtengo la función igualo a \(4+f^{3}(x)\) y despejo \(f(x)\) ¿está bien así? Después de eso, creo que sale fácil 😄.
Gracias de antemano (parezco loro, pero de verdad estoy muy agradecido. Todavía me cuesta mucho aprender solo de los libros sin un profesor que me guíe)
No sé si te conviene integrar 3 veces eso.. Se ve medio feo, aunque creo que igual anda. Yo lo que haría tal vez es derivar h 2 veces y calcular h(0), h'(0) y h''(0). Seguramente en las derivadas de h te van a quedar cosas con f. Ahí usás el polinomio de Taylor de f.
La derivada tercera de h te la dan para acotar el resto.
Pregunta tonta, si derivo \(h(x)\) me queda \(3(f'(x))^{2}\) , ¿no?
Dejo una pregunta más y los dejo tranquilos. Creo que ya están viendo cálculo de áreas de funciones. Entonces si a mi me dan, calcular el área entre \(f(x)\)y \(g(x)\) solo tengo que ver cuál es el "techo" y cuál el "piso". ¿no? Para hacer eso se me ocurre, igualo las ecuaciones, encuentro dónde se cortan y tomo un punto que esté entre las intersecciones, de ahí me fijo cuál es mayor y calculo. Si no me equivoco la integral es \(\int (techo - piso)dx\)
Acordate que cuando tenés una composición de funciones, tenés que hacer la derivada de lo de afuera evaluada en lo de adentro, por la derivada de lo de adentro. En este caso tenés digamos \(p(x)= x^3\) y \(f(x)\). Entonces tenés que \(h(x)=(p \, o \, f)(x) = p(f(x)) = {(f(x))}^3\). Luego la derivada de h es: \(h'(x) = p'(f(x)) . f'(x) = 3(f(x))^{2} . f'(x)\).
Recordá la regla de la cadena: \((f \, o \, g)'(x) = f'(g(x)) . g'(x)\)
Sí, el que te da más grande es el techo y el otro el piso, como dijiste. Esto ocurre porque entre dos puntos de intersección vos sabés que sí o sí, una de las funciones está por arriba de la otra. Entonces agarrás un valor de x intermedio, calculás las imágenes para ambas funciones, y la más grande es el techo.
Te doy una ayuda: usá lo que sabés del coseno del ángulo doble para transformar ese \(cos^2(t)\).
Te dejo la resolución por si te llegás a trabar, pero primero tratá de hacer eso que te puse recién:
Por propiedad del coseno del ángulo doble, tenés que: \(cos(2t) = cos^2(t)-sen^2(t) \, \forall t.\) (Esto fijate que sale de hacer el coseno de la suma de 2 ángulos, o sea \(cos(t+t)\). Entonces,
Generalmente, cuando tenés integrales de trigonométricas, cuando no podés usar ninguno de los métodos de integración, la idea es generalmente reemplazar lo que tenés por alguna equivalencia conocida de las identidades trigonométricas. Fijate que también usé la identidad pitagórica en una parte.
Espero que haya servido y cualquier cosa preguntame!
Saludos!
